FUVEST 2022 - 2ª Fase - 2º dia

Uma sequência de números naturais é construída da seguinte forma: seu primeiro termo t1 é escolhido como sendo um número natural qualquer. Se t1 for par, então t2 = começar estilo tamanho matemático 14px t com 1 subscrito sobre 2 fim do estiloe, se t1 for ímpar, então t2 = 3t1 + 1. Os termos seguintes tn são obtidos de acordo com essa mesma regra. Por exemplo, se t1 = 3, então t2 = 10, t3 = 5, t4 = 16 e assim por diante.

Dessa forma, a partir de t1começar estilo tamanho matemático 14px reto números naturais fim do estilo, para cada ncomeçar estilo tamanho matemático 14px reto números naturais fim do estilo, n ≥ 2, a sequência tn é definida como

começar estilo tamanho matemático 14px t com n subscrito abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com t com n menos 1 subscrito fim do subscrito sobre 2 vírgula espaço se espaço t com n menos 1 subscrito fim do subscrito espaço for espaço par fim da célula linha com célula com 3 t com n menos 1 subscrito fim do subscrito mais 1 vírgula espaço se espaço t com n menos 1 subscrito fim do subscrito espaço for espaço ímpar fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

a) Para t1 = 22, determine t4.

b) Determine todos os possíveis t1 para os quais t4 = 10.

c) Para t1 = 26, determine t2022.

a) 

Resposta: 17

 

b) Para cada caso, sendo tn um número natural, tem-se dois casos a serem estudados.

1o caso: tn – 1 = 2tn

2o caso: começar estilo tamanho matemático 14px reto t com reto n menos 1 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador reto t com reto n subscrito espaço menos espaço 1 sobre denominador 3 fim da fração fim do estilo

Note que tn – 1 é um número natural.

Com t4 = 10, tem-se t3 = 20 ou começar estilo tamanho matemático 14px reto t com 3 subscrito espaço igual a espaço numerador 10 espaço menos 1 sobre denominador 3 fim da fração espaço igual a espaço 3 fim do estilo.

Com t3 = 20, tem-se t2 = 40 ou começar estilo tamanho matemático 14px reto t com 3 subscrito espaço igual a espaço numerador 20 espaço menos 1 sobre denominador 3 fim da fração espaço fim do estilo; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.

Com t3 = 3, tem-se t2 = 6 ou começar estilo tamanho matemático 14px reto t com 2 subscrito espaço igual a espaço numerador 3 menos 1 sobre denominador 3 fim da fração espaço fim do estilo; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.

Com t2 = 40, tem-se t1 = 80 ou começar estilo tamanho matemático 14px reto t com 1 subscrito espaço igual a espaço numerador 40 menos 1 sobre denominador 3 fim da fração espaço igual a 13 fim do estilo.

Com t2 = 6, tem-se t1 = 12 ou começar estilo tamanho matemático 14px reto t com 1 subscrito espaço igual a espaço numerador 6 menos 1 sobre denominador 3 fim da fração fim do estilo; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.

Assim, tem-se as sequências:

(13, 40, 20, 10),

(80, 40, 20, 10) e

(12, 6, 3, 10).

Resposta: 13, 80 e 12

 

c) 

Note que, a partir do 9o termo, repete-se a subsequência 4, 2, 1.

2022 = 8 + 3 ⋅ 671 + 1

Logo, t2022 = 4 (o primeiro termo da subsequência 4, 2, 1).

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