FUVEST 2022 - 2ª Fase - 2º dia
Uma sequência de números naturais é construída da seguinte forma: seu primeiro termo t1 é escolhido como sendo um número natural qualquer. Se t1 for par, então t2 = e, se t1 for ímpar, então t2 = 3t1 + 1. Os termos seguintes tn são obtidos de acordo com essa mesma regra. Por exemplo, se t1 = 3, então t2 = 10, t3 = 5, t4 = 16 e assim por diante.
Dessa forma, a partir de t1 ∈ , para cada n ∈
, n ≥ 2, a sequência tn é definida como
a) Para t1 = 22, determine t4.
b) Determine todos os possíveis t1 para os quais t4 = 10.
c) Para t1 = 26, determine t2022.
a) 
Resposta: 17
b) Para cada caso, sendo tn um número natural, tem-se dois casos a serem estudados.
1o caso: tn – 1 = 2tn
2o caso:
Note que tn – 1 é um número natural.
Com t4 = 10, tem-se t3 = 20 ou .
Com t3 = 20, tem-se t2 = 40 ou ; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.
Com t3 = 3, tem-se t2 = 6 ou ; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.
Com t2 = 40, tem-se t1 = 80 ou .
Com t2 = 6, tem-se t1 = 12 ou ; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.
Assim, tem-se as sequências:
(13, 40, 20, 10),
(80, 40, 20, 10) e
(12, 6, 3, 10).
Resposta: 13, 80 e 12
c) 
Note que, a partir do 9o termo, repete-se a subsequência 4, 2, 1.
2022 = 8 + 3 ⋅ 671 + 1
Logo, t2022 = 4 (o primeiro termo da subsequência 4, 2, 1).