FUVEST 2023 - 2ª Fase - 2º dia

Duas empresas de entrega de mercadorias, A e B, são concorrentes. A empresa A cobra R$ 4,00 por quilo da encomenda e mais R$ 30,00 de taxa fixa. Já a tarifa da empresa B é de R$ 6,00 por quilo, sem taxa fixa, para encomendas de até 30 quilos; para encomendas de mais de 30 quilos, a empresa B cobra R$ 2,00 por quilo, mais uma taxa fixa de R$ 120,00.

a) Dê a expressão da função que descreve a tarifa cobrada pela empresa A em termos do peso x da encomenda.

b) Para qual intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa A do que pela empresa B?

c) Um cliente solicitou duas encomendas: uma entregue pela empresa A, e outra, pela empresa B, com peso total de 200 quilos. Quais são as possíveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas, sabendo que a tarifa de entrega total foi de R$ 850,00?

Sejam PA(x) e PB(x) os preços a serem pagos na entrega realizada pela empresa A e pela empresa B, respectivamente, no transporte de x quilos de mercadoria.

a) Do enunciado, vem que PA(x) = 4x + 30.

b) Do enunciado, tem-se começar estilo tamanho matemático 14px reto P com reto B subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 6 reto x vírgula espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 espaço menor ou igual a espaço reto x espaço menor ou igual a espaço 30 fim da célula linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço estreito 120 vírgula espaço espaço espaço espaço reto x espaço maior que espaço 30 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo.

Para que a entrega feita pela empresa A seja mais barata que a feita pela empresa B, é preciso que PA(x)<PB(x).

Supondo 0 ≤ x ≤ 30, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto P com reto A subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço menor que espaço reto P com reto B subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço 4 reto x espaço mais espaço estreito 30 espaço menor que espaço 6 reto x seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço 2 reto x espaço maior que espaço 30 espaço espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço reto x espaço maior que espaço 15 então espaço espaço espaço espaço reto x espaço pertence espaço parêntese esquerdo 15 vírgula espaço 30 parêntese recto direito espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo reto I parêntese direito fim do estilo

Supondo agora x > 30, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto P com reto A subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço menor que espaço reto P com reto B subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço 4 reto x espaço mais espaço estreito 30 espaço menor que espaço 2 reto x espaço mais espaço estreito 120 seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço 2 reto x espaço menor que espaço 90 espaço espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço reto x espaço menor que espaço 45 então espaço espaço espaço espaço reto x espaço pertence espaço parêntese esquerdo 30 vírgula espaço 45 parêntese direito espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo II parêntese direito fim do estilo

De (I) e (II), conclui-se que x ∈ (15,45).

c) Sejam xA e xB os pesos transportados pela empresa A e pela empresa B, respectivamente. Os pesos somados devem totalizar 200 kg e o preço do transporte somado deve totalizar R$ 850,00. Assim, deve-se ter:

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto P com reto A subscrito parêntese esquerdo reto x com reto A subscrito parêntese direito espaço mais espaço reto P com reto B subscrito parêntese esquerdo reto x com reto B subscrito parêntese direito espaço igual a espaço 850 fim da célula linha com célula com reto x com reto A subscrito espaço mais espaço reto x com reto B subscrito espaço igual a espaço 200 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

Supondo 0 ≤ xB ≤ 30, na primeira equação do sistema, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 4 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço estreito 30 parêntese direito espaço mais espaço estreito 6 reto x com reto B subscrito espaço igual a espaço 850 4 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço 4 reto x com reto B subscrito espaço mais espaço 30 espaço mais espaço estreito 2 reto x com reto B subscrito espaço igual a espaço 850 4 abre parênteses pilha pilha reto x com reto A subscrito espaço mais espaço reto x com reto B subscrito com chave inferior abaixo com 200 abaixo fecha parênteses espaço mais espaço 30 espaço mais espaço 2 reto x com reto B subscrito espaço igual a espaço 850 4 vezes 200 espaço mais espaço 30 espaço mais espaço 2 reto x com reto B subscrito espaço igual a espaço 850 espaço espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço 2 reto x com reto B subscrito espaço igual a espaço 20 seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço reto x com reto B subscrito espaço igual a espaço 10 espaço espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço reto x com reto A subscrito espaço igual a espaço 190 fim do estilo

Supondo xB > 30, novamente na primeira equação do sistema, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 4 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço estreito 30 parêntese direito espaço mais espaço estreito parêntese esquerdo 2 reto x com reto B subscrito espaço mais espaço 120 parêntese direito espaço igual a espaço 850 2 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço 2 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço 2 reto x com reto B subscrito mais espaço 30 espaço mais espaço estreito 120 espaço igual a espaço 850 2 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço 2 abre parênteses pilha pilha reto x com reto A subscrito espaço mais espaço reto x com reto B subscrito com chave inferior abaixo com 200 abaixo fecha parênteses espaço mais espaço 30 espaço mais espaço 120 espaço igual a espaço 850 2 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço 2 vezes 200 espaço mais espaço 150 espaço igual a espaço 850 espaço espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço 2 reto x com reto A subscrito espaço igual a espaço 300 seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço reto x com reto A subscrito espaço igual a espaço 150 espaço espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço reto x com reto B subscrito espaço igual a espaço 50 fim do estilo

Portanto, existem duas maneiras de transportar 200 kg de mercadoria utilizando as empresas A e B de forma que o gasto final totalize R$ 850,00:

1º) a empresa A transporta 190 kg de mercadoria e a empresa B, 10 kg; ou 

2º) a empresa A transporta 150 kg de mercadoria e a empresa B, 50 kg.

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