Um estudo de caso acompanhou um homem que tinha 30 anos de vida e possuía inicialmente 100 mil fios de cabelo. Ao longo desse estudo, foi possível observar que, para esse homem, a taxa média de queda de cabelo foi de 4% ao ano.

a) Sendo N o número médio de fios de cabelo desse homem e t o tempo, em anos, decorrido desde os seus 30 anos de idade, determine a função N(t) e utilize-a para calcular o número de fios de cabelo observados nesse homem quando ele completou 31 anos de vida.

b) Decorrido certo número de anos após os 30 anos de idade desse homem, ele terá a metade dos fios de cabelo que tinha aos 30 anos. Utilizando log102 = 0,30 e log103 = 0,48, determine qual será sua idade nessa ocasião.

a) Sendo N(t) o número médio de cabelos após t anos, 100∙10³ o número inicial de fios de cabelos de uma pessoa de 30 anos e 4% a taxa média de queda de cabelo, têm-se:

N(t) = 100∙10³∙(1 - 0,04)t

N(t) = 105·(0,96)t

O número de fios de cabelo observados nesse homem quando ele completou 31 anos de vida será:

N(1) = 105·(0,96)1

N(1) = 96 000

Resp.:  N(t) = 105·(0,96)t e 96 000 fios

 

b) Do enunciado, tem-se que, decorrido certo número de anos após os 30 anos de idade desse homem, ele terá a metade dos fios de cabelo que tinha aos 30 anos. Assim, deve-se ter:

começar estilo tamanho matemático 14px reto N parêntese esquerdo reto t parêntese direito espaço igual a espaço 10 à potência de 5 sobre 2 10 à potência de 5 vezes parêntese esquerdo 0 vírgula 96 parêntese direito à potência de reto t espaço igual a espaço 10 à potência de 5 sobre 2 parêntese esquerdo 0.96 parêntese direito à potência de reto t espaço igual a espaço 1 meio log espaço parêntese esquerdo 0 vírgula 96 parêntese direito à potência de reto t espaço igual a espaço log espaço abre parênteses 1 meio fecha parênteses log espaço abre parênteses 96 sobre 100 fecha parênteses à potência de reto t espaço igual a espaço log espaço abre parênteses 1 meio fecha parênteses reto t vezes parêntese esquerdo log espaço 96 espaço menos espaço log espaço 100 parêntese direito espaço igual a espaço log espaço 1 espaço menos espaço log espaço 2 reto t vezes abre colchetes log espaço parêntese esquerdo 2 à potência de 5 vezes 3 parêntese direito espaço menos espaço log espaço 10 ao quadrado fecha colchetes espaço igual a espaço menos log espaço 2 reto t vezes abre parênteses 5 vezes log espaço 2 espaço mais espaço log espaço 3 espaço menos espaço 2 vezes log espaço 10 fecha parênteses espaço igual a espaço menos log espaço 2 fim do estilo

Como log 2 = 0,3  e  log 3 = 0,48 , tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto t vezes abre colchetes 5 vezes 0 vírgula 3 espaço mais espaço 0 vírgula 48 espaço menos espaço 2 fecha colchetes espaço igual a espaço menos espaço 0 vírgula 30 espaço espaço espaço espaço então espaço espaço espaço espaço reto t espaço igual a espaço 15 fim do estilo

Logo, o homem terá 45 anos.

Resp.: 45 anos