Uma das empresas norte-americanas que levou turistas em voo suborbital em 2021 utiliza uma cápsula, onde acomoda os passageiros, acoplada a um propulsor. Após o lançamento, quando o conjunto atinge a altura de 75 km e velocidade de 1000 m/s, a cápsula se desprende do propulsor e continua sua trajetória até a altura aproximada de 105 km. Em seguida, a cápsula retorna à superfície, amparada por paraquedas.

Considerando a aceleração da gravidade constante e igual a 10 m/s2 e a massa da cápsula igual a 4,0 × 103 kg, calcule:

a) a energia cinética e a energia mecânica total da cápsula, em relação ao solo, no instante em que ocorre a sua separação do propulsor, ambas em joules.

b) o trabalho realizado pelo peso da cápsula, em joules, entre o momento em que ela se desprende do propulsor até o momento em que ela atinge o ponto mais alto da trajetória. Determine o trabalho realizado pelas forças de resistência que atuaram sobre a cápsula, em joules, desde a altura máxima até o seu pouso, desprezando a energia cinética da cápsula na altura máxima e no instante do pouso.

a) A energia cinética da cápsula é dada por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto E com reto C subscrito espaço igual a espaço numerador reto m vezes reto V ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador 4 vezes 10 ao cubo vezes 1000 ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço reto E com reto C subscrito espaço igual a espaço 2 vezes 10 à potência de 9 espaço reto J fim do estilo

A energia mecânica da cápsula em relação ao solo, já fazendo os ajustes de unidades necessários, é dada por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto E com reto m subscrito espaço igual a espaço reto E com reto C subscrito espaço mais espaço reto E com reto P com reto g subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço reto E com reto C subscrito espaço mais espaço reto m vezes reto g vezes reto h fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto E com reto m subscrito espaço igual a espaço 2 vezes 10 à potência de 9 espaço mais espaço 4 vezes 10 ao cubo vezes 10 vezes 75 vezes 10 ao cubo fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço reto E com reto m subscrito espaço igual a espaço 5 vezes 10 à potência de 9 espaço reto J fim do estilo

b) O trabalho do peso pode ser determinado a partir do Teorema da Energia Potencial:

começar estilo tamanho matemático 14px reto tau com reto P subscrito espaço igual a espaço reto E com reto P com reto g subscrito subscrito fim do subscrito com reto i sobrescrito espaço menos espaço reto E com reto P com reto g subscrito subscrito fim do subscrito com reto f sobrescrito espaço igual a espaço reto m vezes reto g vezes reto h com reto i subscrito espaço menos espaço reto m vezes reto g vezes reto h com reto f subscrito espaço igual a espaço reto m vezes reto g vezes parêntese esquerdo reto h com reto i subscrito espaço menos espaço reto h com reto f subscrito parêntese direito fim do estilo

Adotando-se o plano horizontal de referência no solo e ajustando as unidades convenientemente:

começar estilo tamanho matemático 14px reto tau com reto P subscrito espaço igual a espaço 4 vezes 10 ao cubo vezes 10 vezes parêntese esquerdo 75 vezes 10 ao cubo espaço menos espaço 105 vezes 10 ao cubo parêntese direito fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço reto tau com reto P subscrito espaço igual a espaço menos 1 vírgula 2 vezes 10 à potência de 9 espaço reto J fim do estilo

Aplicando-se o Teorema da Energia Mecânica:

começar estilo tamanho matemático 14px reto tau com reto F com não espaço conservativas subscrito fim do subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço reto E com reto m subscrito com reto f sobrescrito espaço menos espaço reto E com reto m subscrito com reto i sobrescrito fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto tau com reto F com de espaço resistência subscrito fim do subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço reto E com reto C subscrito com reto f sobrescrito espaço mais espaço reto E com reto P com reto g subscrito subscrito fim do subscrito com reto f sobrescrito espaço menos espaço reto E com reto C subscrito com reto i sobrescrito espaço menos espaço reto E com reto P com reto g subscrito subscrito fim do subscrito com reto i sobrescrito fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto tau com reto F com de espaço resistência subscrito fim do subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço 0 espaço mais espaço reto m vezes reto g vezes reto h com reto f subscrito espaço menos espaço 0 espaço menos espaço reto m vezes reto g vezes reto h com reto i subscrito fim do estilo

Adotando-se o plano horizontal de referência no solo e ajustando as unidades convenientemente:

começar estilo tamanho matemático 14px reto tau com reto F com de espaço resistência subscrito fim do subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço 0 espaço menos espaço 4 vezes 10 ao cubo vezes 10 vezes 105 vezes 10 ao cubo fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço reto tau com reto F com de espaço resistência subscrito fim do subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço menos 4 vírgula 2 vezes 10 à potência de 9 espaço reto J fim do estilo