A conversão de energia mecânica das ondas do mar é uma promissora fonte alternativa de energia limpa, e vários protótipos têm sido desenvolvidos para este fim. Uma das possíveis aplicações é o uso de câmaras de ar pressurizadas que usem a oscilação das ondas do mar para fazer girar o eixo de um dínamo ou de uma turbina, gerando energia elétrica.

Considere o esquema mostrado na figura: uma boia flutua no mar e seu movimento vertical faz mover o pistão 1 de área A que comprime o ar em uma câmara pressurizada a uma pressão P0. A distância máxima entre o pistão 1 e o topo da câmara é L. Um segundo pistão (pistão 2) de área A/10 colocado horizontalmente na lateral superior da câmara é acoplado a um mecanismo que faz girar um dínamo.

Considere inicialmente que ambos os pistões são livres para se movimentarem sem atrito e que a pressão e a temperatura do gás no interior da câmara não se alterem significativamente.

a) Se as ondas do mar forem ondas perfeitamente harmônicas com velocidade de 3 m/s e a distância entre as cristas for de 5 m, calcule o período de rotação do dínamo.

b) Se a amplitude das ondas do mar é h, calcule a distância horizontal máxima d percorrida pelo pistão 2. Considere agora uma situação em que o gerador é desativado, travando-se o pistão 2, de modo que ele não possa se mover.

c) Calcule a pressão máxima na câmara considerando que a temperatura do gás em seu interior não varie. Expresse sua resposta em termos da pressão inicial na câmara P0, e de L e h.

Note e adote:
Considere o gás no interior da câmara como sendo ideal e em equilíbrio termodinâmico em todas as etapas do processo.

a) Inicialmente, é possível determinar o período (T) da onda por meio da equação fundamental da ondulatória:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v espaço igual a espaço reto lambda sobre reto T espaço seta para a direita espaço 3 espaço igual a espaço 5 sobre reto T fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço reto T espaço igual a espaço 5 sobre 3 espaço quase igual espaço 1 vírgula 67 espaço reto s fim do estilo

De acordo com a figura apresentada, o período de oscilação da boia coincide com o período de rotação do dínamo. Portanto:

começar estilo tamanho matemático 14px reto T com dínamo subscrito espaço igual a espaço 5 sobre 3 espaço quase igual espaço 1 vírgula 67 espaço reto s fim do estilo

b) Uma vez que h foi designado como sendo a amplitude da onda, pode-se concluir que o pistão 1 se desloca essa medida. Como, de acordo com o enunciado, a pressão e a temperatura do gás no interior da câmara não se alteram significativamente, o volume do gás também se mantém constante. Assim sendo, o gás passa a atuar como um elemento incompressível e, dessa maneira, a variação do volume do pistão 1 deve coincidir com a variação de volume do pistão 2. Considerando a expressão do volume do cilindro:

começar estilo tamanho matemático 14px ΔV com pistão espaço 1 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço ΔV com pistão espaço 2 subscrito fim do subscrito espaço seta para a direita reto A vezes reto h espaço igual a espaço reto A sobre 10 vezes reto d fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço reto d espaço igual a espaço 10 vezes reto h fim do estilo

c) Como o pistão 2 não pode se mover, a quantidade de gás não se altera dentro da câmara. De acordo com a equação geral dos gases, pode-se concluir que a pressão máxima ocorre quando o volume ocupado pelo gás é o menor possível:

começar estilo tamanho matemático 14px numerador reto P com reto f subscrito vezes reto V com reto f subscrito sobre denominador reto T com reto f subscrito fim da fração espaço igual a espaço numerador começar estilo mostrar reto P com reto i subscrito vezes reto V com reto i subscrito fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar reto T com reto i subscrito fim do estilo fim da fração fim do estilo     T = constante começar estilo tamanho matemático 14px seta para a direita fim do estilo começar estilo tamanho matemático 14px reto P com reto f subscrito vezes reto V com reto f subscrito espaço igual a espaço reto P com reto i subscrito vezes reto V com reto i subscrito espaço espaço seta para a direita fim do estilo começar estilo tamanho matemático 14px reto P com máx subscrito vezes reto V com mín subscrito espaço igual a espaço reto P com 0 subscrito vezes reto V com 0 subscrito fim do estilo

Considerando a situação apresentada, o menor volume do gás ocupado pelo gás ocorre quando o pistão 1 possui o máximo deslocamento h (sendo a altura do cilindro nesse caso L – h):

começar estilo tamanho matemático 14px reto P com máx subscrito vezes reto V com mín subscrito espaço igual a espaço reto P com 0 subscrito vezes reto V com 0 subscrito fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto P com máx subscrito vezes parêntese recto esquerdo reto A vezes parêntese esquerdo reto L espaço menos espaço reto h parêntese direito parêntese recto direito espaço igual a espaço reto P com 0 subscrito vezes parêntese esquerdo reto A vezes reto L parêntese direito fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço reto P com máx subscrito espaço igual a espaço numerador reto P com 0 subscrito vezes reto L sobre denominador parêntese esquerdo reto L espaço menos espaço reto h parêntese direito fim da fração fim do estilo