Heloísa está brincando com uma urna que contém dez bolinhas, sendo três azuis, três verdes e quatro rosas. Ela resolve construir uma sequência numérica x0, x1, x2, … de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequência é x0 = 1.
A cada sorteio, um novo termo da sequência é determinado multiplicando-se o termo anterior:
• por 2, se a bolinha sorteada for azul;
• por 3, se a bolinha sorteada for verde;
• por 5, se a bolinha sorteada for rosa.
A bolinha sorteada é devolvida para a urna antes do próximo sorteio. Por exemplo, se nos três primeiros sorteios Heloísa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, então a sequência obtida é
• x0 = 1
• x1 = 5 · x0 = 5,
• x2 = 3 · x1 = 15,
• x3 = 2 · x2 = 30.
a) É possível que Heloísa obtenha uma sequência contendo o termo 189? Justifique.
b) Qual a probabilidade de Heloísa obter o número 360 como termo de uma sequência?
a) Fatorando 189, temos:
Como o primeiro termo da sequência é 1 e todo termo da sequência, a partir do segundo, é um inteiro obtido multiplicando o termo anterior por 2 ou por 3 ou por 5, nenhum termo dessa sequência é múltiplo de 7.
Assim não é possível que Heloisa obtenha o número 189 nessa sequência.
b) Como 360 = 23 · 32 · 5, 360 será o sétimo termo de qualquer sequência na qual os seis primeiros termos são associados à ocorrência de três bolinhas azuis, duas verdes e uma rosa.
Assim, a probabilidade pedida é dada por: