Márcia está fazendo um teste de condicionamento físico e corre numa pista circular de 200 m de comprimento, com velocidade angular constante, e no sentido anti-horário. A distância, em metros, entre Márcia e um equipamento eletrônico localizado na parte externa da pista foi registrada nos primeiros 60 segundos e está representada na Figura 1 abaixo.

a) Determine quanto tempo Márcia demora para completar uma volta e quantos metros ela percorreu nos primeiros 60 segundos.

b) A Figura 2 representa um determinado instante em que a distância entre Márcia e o centro da pista (ponto C) é igual à distância entre ela e o equipamento eletrônico. Calcule o cosseno do ângulo α indicado na Figura 2.

a) A velocidade angular é constante, o gráfico representa uma função periódica cujo período é de 24 segundos.

Desse modo, em 60 segundos, Márcia deu 2,5 voltas na pista.

Como a pista tem 200 metros de comprimento, em 60 segundos, a distância d, em metros, percorrida por Márcia foi:

d = 2,5∙200 = 500

ou seja, 500 metros.

 

b) Sendo r metros a medida do raio da pista, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px reto r espaço igual a espaço numerador 200 sobre denominador 2 reto pi fim da fração espaço igual a espaço 100 sobre reto pi fim do estilo

No instante em que a distância entre Márcia e o centro da pista (ponto C) é igual à distância entre ela e o equipamento eletrônico, temos a figura a seguir:     

Aplicando o teorema dos cossenos, vem:

começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 100 sobre reto pi fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses 100 sobre reto pi fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 100 sobre reto pi espaço mais espaço 10 fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 2 vezes abre parênteses 100 sobre reto pi fecha parênteses vezes abre parênteses 100 sobre reto pi espaço mais espaço estreito 10 fecha parênteses vezes cos espaço reto alfa 2 vezes abre parênteses 100 sobre reto pi fecha parênteses vezes abre parênteses 100 sobre reto pi espaço mais espaço 10 fecha parênteses vezes cos espaço reto alfa espaço igual a espaço abre parênteses 100 sobre reto pi espaço mais espaço 10 fecha parênteses ao quadrado 200 sobre reto pi vezes cos espaço reto alfa espaço igual a espaço abre parênteses 100 sobre reto pi espaço mais espaço 10 fecha parênteses cos espaço reto alfa espaço igual a espaço abre parênteses 100 sobre reto pi espaço mais espaço 10 fecha parênteses vezes reto pi sobre 200 cos espaço reto alfa espaço igual a espaço 1 meio espaço mais espaço reto pi sobre 20 fim do estilo