Um fabricante de produtos de beleza está modificando as dimensões da embalagem de seu principal produto, o shampoo antipiolhos chamado 100πolho. Atualmente, as embalagens têm o formato de um paralelepípedo com 18 cm de altura e com base retangular de dimensões 2 cm × 3 cm. São utilizados dois tipos de materiais para construir a embalagem. O material utilizado tanto para a base quanto para a lateral é mais simples e custa R$ 10,00 o metro quadrado. O material utilizado para a tampa custa R$ 40,00 o metro quadrado, por ser mais resistente.

a) Qual o custo atual do material para construir 100 embalagens?

b) Por questões logísticas, as novas embalagens devem ter o formato de um paralelepípedo com base quadrada e com altura de 12 cm, e precisam ter a mesma capacidade volumétrica que as embalagens atuais. Quais as dimensões da nova embalagem e o custo de produção de 100 delas, considerando os mesmos materiais para produção?

Note-se inicialmente que:

  • o custo em reais por centímetro quadrado do material utilizado para a base e lateral é: começar estilo tamanho matemático 14px numerador 10 sobre denominador 100 vezes 100 fim da fração espaço igual a espaço 0 vírgula 001 fim do estilo
  • o custo em reais por centímetro quadrado do material utilizado para tampa é: começar estilo tamanho matemático 14px numerador 40 sobre denominador 100 vezes 100 fim da fração espaço igual a espaço 0 vírgula 004 fim do estilo

 

a) O custo C, em reais, para construir 100 embalagens desse tipo é dado por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C espaço igual a espaço 100 vezes parêntese recto esquerdo 0 vírgula 001 vezes parêntese esquerdo 2 vezes 3 espaço mais espaço 2 vezes 2 vezes 18 espaço mais espaço 2 vezes 3 vezes 18 parêntese direito espaço mais espaço 0 vírgula 004 vezes 2 vezes 3 parêntese recto direito reto C espaço igual a espaço 21 fim do estilo

Ou seja, R$ 21,00.

 

b) Sendo x cm a medida de cada aresta da base do paralelepípedo que representa a figura, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px 2 vezes 3 vezes 18 espaço igual a espaço reto x vezes reto x vezes 12 espaço espaço espaço espaço então espaço espaço espaço espaço reto x ao quadrado espaço igual a espaço 9 espaço espaço espaço espaço então espaço espaço espaço espaço reto x espaço igual a espaço 3 fim do estilo

Assim o custo N, em reais, para construir 100 embalagens desse novo tipo é dado por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C espaço igual a espaço 100 vezes parêntese recto esquerdo 0 vírgula 001 vezes parêntese esquerdo 3 vezes 3 espaço mais espaço 3 vezes 3 vezes 12 parêntese direito espaço mais espaço 0 vírgula 004 vezes 3 vezes 3 parêntese recto direito reto C espaço igual a espaço 18 vírgula 9 fim do estilo

Ou seja, R$ 18,90.