Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x2 + xy - y2 e x * y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb) * (bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!". Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

  • a

    começar estilo tamanho matemático 14px raiz quadrada de 5 fim do estilo

  • b

    começar estilo tamanho matemático 14px raiz quadrada de 3 fim do estilo

  • c

    começar estilo tamanho matemático 14px raiz quadrada de 1 fim do estilo

  • d

    começar estilo tamanho matemático 14px numerador menos 1 mais raiz quadrada de 5 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo

  • e

    começar estilo tamanho matemático 14px numerador 3 mais raiz quadrada de 5 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo

Do enunciado tem-se a seguinte operação:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto x incremento reto y parêntese direito espaço igual a espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço xy espaço menos espaço reto y ao quadrado espaço espaço espaço reto e espaço espaço espaço reto x espaço asterisco espaço reto y espaço igual a espaço xy espaço mais espaço reto x fim do estilo

Seja b o valor de entrada, o valor de saída será dado por:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto a incremento reto b parêntese direito espaço asterisco espaço parêntese esquerdo reto b incremento reto a parêntese direito espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Fazendo as operações, tem-se

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto a ao quadrado espaço mais espaço ab espaço menos espaço reto b ao quadrado parêntese direito espaço asterisco espaço parêntese esquerdo reto b ao quadrado espaço mais espaço ba espaço menos espaço reto a ao quadrado parêntese direito espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Desenvolvendo a operação *, tem-se

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto a ao quadrado espaço mais espaço ab espaço menos espaço reto b ao quadrado parêntese direito espaço parêntese esquerdo reto b ao quadrado espaço mais espaço ba espaço menos espaço reto a ao quadrado parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo reto a ao quadrado espaço mais espaço ab espaço menos espaço reto b ao quadrado parêntese direito espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Fatorando, tem-se

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto a ao quadrado espaço mais espaço ab espaço menos espaço reto b ao quadrado parêntese direito espaço parêntese esquerdo reto b ao quadrado espaço mais espaço ba espaço menos espaço reto a ao quadrado espaço mais espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Como b = 1, 

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto a ao quadrado espaço mais espaço reto a espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço reto a espaço menos espaço reto a ao quadrado espaço mais espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço 0 fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto a ao quadrado espaço mais espaço reto a espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço parêntese esquerdo reto a espaço menos espaço reto a ao quadrado espaço mais espaço 2 parêntese direito espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Assim

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto a ao quadrado espaço mais espaço reto a espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço 0 espaço espaço espaço então espaço espaço espaço reto a espaço igual a espaço numerador menos 1 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 5 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo
ou

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo menos reto a ao quadrado espaço mais espaço reto a espaço mais espaço 2 parêntese direito espaço igual a espaço 0 espaço espaço espaço então espaço espaço espaço reto a espaço igual a espaço menos 1 espaço espaço ou espaço espaço reto a espaço igual a espaço 2 fim do estilo

Desse modo a soma das duas maiores raízes é

começar estilo tamanho matemático 14px numerador menos 1 espaço mais espaço raiz quadrada de 5 sobre denominador 2 fim da fração espaço mais espaço 2 espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 5 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo