A Copa do Brasil teve, até a edição de 2018, 15 times diferentes como campeões da competição, conforme apresentado na imagem. Suponha que, como homenagem aos times campeões, a Confederação Brasileira de Futebol (CBF) pretenda colocar um painel na sua sede. Esse painel teria 6 linhas e, em cada uma delas, 5 placas, referentes a cada edição da competição, com o nome do time vencedor, o brasão e o ano do título. O painel deve ser fabricado de modo que a primeira linha só tenha clubes gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude); a segunda, apenas times cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense); a terceira, somente times mineiros (Cruzeiro e Atlético Mineiro); a quarta, exclusivamente clubes paulistas (Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC, Santo André), e as duas últimas sem nenhuma restrição.
Qual expressão determina a quantidade de painéis diferentes que a CBF poderá montar?
- a
- b
7! 5! 7! 9!10!
- c
30!
- d
- e
Do enunciado, podemos afirmar que:
- o número de maneiras de colocar 5 times gaúchos na 1ª linha é A7,5;
- o número de maneiras de colocar 5 times cariocas na 2ª linha é A5,5;
- o número de maneiras de colocar 5 times mineiros na 3ª linha é A7,5 e
- o número de maneiras de colocar 5 times paulistas na 4ª linha é A9,5.
Preenchidas as 4 primeiras linhas, restam 10 times, mas como não há nenhuma restrição no preenchimento para as duas últimas linhas, segue-se que o número de maneiras de colocar 5 times na 5ª linha e na 6ª linha são, respectivamente, .
Portanto, a quantidade pedida é
Em que é o arranjo simples de n elementos tomados p a p.