Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a roda indicada na figura, até que ela pare aleatoriamente em um dos 100 números naturais positivos e consecutivos, que são equiprováveis.
As regras do jogo são:
1) se sair um múltiplo de 3, o jogador A ganha o prêmio;
2) se sair um múltiplo de 4 ou 6, o jogador B ganha o prêmio;
3) se sair um número que implique na vitória de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, A e B repartem o prêmio;
4) se sair um número que implique em derrota de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, a banca ganha o prêmio.
Em cada rodada, a probabilidade da banca do jogo ganhar o prêmio é de
O texto do enunciado não deixa claro se os números vão de 1 a 100, mas a figura, apesar da baixa resolução, exibe esses números.
Admitindo que a derrota de um jogador signifique que ele não ganhou o prêmio naquela rodada, a banca ganha toda vez que sair algum número que não for múltiplo de 3, nem de 4, nem de 6.
Porém, como os múltiplos de 6 são, necessariamente, múltiplos de 3, podemos reescrever da seguinte forma: a banca ganha toda vez que sair algum número que não for múltiplo de 3, nem de 4.
De 1 a 100, os múltiplos de 3 são 3, 6, ... , 99, totalizando 33 números; os múltiplos de 4, por sua vez, são 4, 8, ... , 100, totalizando 25 números.
Ao somarmos essas quantidades, teremos contado duas vezes os números que são múltiplos de 3 e 4, ou seja, os múltiplos de 12: 12, 24, ... , 96, totalizando 8 números.
Dessa forma, o total de números que não são múltiplos de 3, nem de 4 é:
33 + 25 - 8 = 50
Como são 100 possibilidades em cada rodada, a probabilidade de que a banca ganhe é: