No dia 23 de março de 2021, um navio encalhou no canal de Suez, no Egito. A embarcação tinha 400 metros de comprimento e 60 metros de largura. No ponto onde aconteceu o acidente, o canal de Suez não tem mais do que 200 metros de largura. Abaixo apresentamos uma foto de satélite e uma figura representando a situação. O ângulo α indicado na figura abaixo mede 67,5°.

A largura do canal, medida em metros e indicada por L na figura anterior, é:

Dados:

• cos(2θ) = 2 cos2(θ) − 1
• sen(2θ) = 2sen(θ) cos(θ).

  • a

    começar estilo tamanho matemático 14px 400 raiz quadrada de 2 menos raiz quadrada de 2 fim da raiz menos 60 raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 2 fim da raiz quase igual 195 vírgula 3 fim do estilo

  • b

    começar estilo tamanho matemático 14px 200 raiz quadrada de 2 menos raiz quadrada de 2 fim da raiz menos 15 raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 2 fim da raiz quase igual 125 vírgula 4 fim do estilo

  • c

    começar estilo tamanho matemático 14px 200 raiz quadrada de 2 menos raiz quadrada de 2 fim da raiz mais 15 raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 2 fim da raiz quase igual 180 vírgula 8 fim do estilo

  • d

    começar estilo tamanho matemático 14px 200 raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 3 fim da raiz menos 15 raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 3 fim da raiz quase igual 192 vírgula 6 fim do estilo

Considere a figura a seguir, em que r é uma reta perpendicular às linhas que representam o canal de Suez:

Da figura, tem-se L = AC + CD.

A partir dos triângulos retângulos ABC e DCE, pode-se escrever:

começar estilo tamanho matemático 14px sen espaço reto alfa espaço igual a espaço AC sobre 30 espaço seta para a direita espaço fim do estilocomeçar estilo tamanho matemático 14px AC espaço igual a espaço 30 espaço sen espaço reto alfa fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px cos espaço reto alfa espaço igual a espaço CD sobre 400 espaço seta para a direita espaço fim do estilocomeçar estilo tamanho matemático 14px CD igual a espaço 400 espaço cos espaço reto alfa fim do estilo

Logo, começar estilo tamanho matemático 14px reto L espaço igual a espaço 30 espaço sen espaço reto alfa espaço mais espaço 400 espaço cos espaço reto alfa fim do estilo.

Com α = 67,5°, tem-se 2α = 135°. Usando o dado disponível no enunciado, é possível escrever:

começar estilo tamanho matemático 14px 2 cos ao quadrado abre parênteses reto alfa fecha parênteses espaço menos espaço 1 espaço igual a espaço cos abre parênteses 2 reto alfa fecha parênteses 2 cos ao quadrado abre parênteses reto alfa fecha parênteses espaço menos espaço 1 espaço igual a espaço menos espaço numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração cos ao quadrado abre parênteses reto alfa fecha parênteses espaço espaço igual a espaço espaço numerador 2 espaço menos espaço raiz quadrada de 2 sobre denominador 4 fim da fração cos espaço reto alfa espaço espaço igual a espaço espaço numerador raiz quadrada de 2 espaço menos espaço raiz quadrada de 2 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração espaço parêntese esquerdo reto I parêntese direito fim do estilo 

Da Relação Fundamental, obtém-se:

começar estilo tamanho matemático 14px sen ao quadrado espaço reto alfa espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço cos ao quadrado espaço reto alfa fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px sen ao quadrado espaço reto alfa espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço numerador 2 espaço menos espaço raiz quadrada de 2 sobre denominador 4 fim da fração fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px sen ao quadrado espaço reto alfa espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais espaço estreito raiz quadrada de 2 sobre denominador 4 fim da fração fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px sen espaço reto alfa espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de 2 espaço mais espaço raiz quadrada de 2 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração espaço parêntese esquerdo II parêntese direito fim do estilo

Substituindo (I) e (II) na igualdade começar estilo tamanho matemático 14px reto L espaço igual a espaço 30 espaço sen espaço reto alfa espaço mais espaço 400 espaço cos espaço reto alfa fim do estilo , tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto L espaço igual a espaço 30 vezes numerador raiz quadrada de 2 espaço mais espaço estreito raiz quadrada de 2 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração espaço mais espaço estreito 400 vezes numerador raiz quadrada de 2 espaço menos espaço raiz quadrada de 2 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto L espaço igual a espaço 15 raiz quadrada de 2 espaço mais espaço estreito raiz quadrada de 2 fim da raiz espaço mais espaço estreito 200 raiz quadrada de 2 espaço menos espaço raiz quadrada de 2 fim da raiz fim do estilo