A parábola y = −x2 + bx + c intercepta o eixo x nos pontos (p, 0) e (q, 0). Sabe-se que ela intercepta uma única vez cada uma das retas dadas pelas equações y = 2x + 1 e y = 1 − começar estilo tamanho matemático 14px x sobre 2 fim do estilo. O valor de p + q é:

  • a

    2/3.

  • b

    3/4.

  • c

    4/3.

  • d

    3/2.

Como a parábola intersecta somente uma vez cada uma das retas, então o discriminante de cada uma das equações a seguir deve ser igual a zero:

começar estilo tamanho matemático 14px menos reto x ao quadrado espaço mais espaço bx espaço mais espaço reto c espaço igual a espaço 2 reto x espaço mais espaço 1 menos reto x ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo reto b espaço menos espaço 2 parêntese direito reto x espaço mais espaço parêntese esquerdo reto c espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço 0 reto delta maiúsculo espaço igual a espaço 0 espaço espaço espaço espaço seta para a direita espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo reto b espaço menos espaço 2 parêntese direito ao quadrado espaço menos espaço 4 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito parêntese esquerdo reto c espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço 0 espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo reto I parêntese direito menos reto x ao quadrado espaço mais espaço bx espaço mais espaço reto c espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço reto x sobre 2 menos reto x ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto b espaço mais espaço 1 meio fecha parênteses reto x espaço mais espaço parêntese esquerdo reto c espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço 0 reto delta maiúsculo espaço igual a espaço 0 espaço espaço espaço espaço seta para a direita espaço espaço espaço espaço espaço abre parênteses reto b espaço mais espaço 1 meio fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 4 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito parêntese esquerdo reto c espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço 0 espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo II parêntese direito fim do estilo

 

Subtraindo (I) de (II), tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses reto b espaço mais espaço 1 meio fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço parêntese esquerdo reto b espaço menos espaço 2 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 0 reto b ao quadrado espaço mais espaço reto b espaço mais espaço 1 quarto espaço menos espaço parêntese esquerdo reto b ao quadrado espaço menos espaço 4 reto b espaço mais espaço 4 parêntese direito espaço igual a espaço 0 5 reto b espaço menos espaço 15 sobre 4 espaço igual a espaço 0 reto b espaço igual a espaço 3 sobre 4 fim do estilo

Note que, sendo p e q as raízes da função quadrática, então p + q indica a soma das raízes. Logo:

começar estilo tamanho matemático 14px reto p espaço mais espaço reto q espaço igual a espaço menos espaço numerador reto b sobre denominador parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração espaço igual a espaço reto b espaço igual a espaço 3 sobre 4 fim do estilo