Considere a matriz

começar estilo tamanho matemático 14px A igual a abre parênteses tabela linha com 1 k linha com 3 célula com k ao quadrado fim da célula fim da tabela fecha parênteses fim do estilo

e seja B = A + AT, onde AT é a transposta da matriz A.

Sobre o sistema

começar estilo tamanho matemático 14px B abre parênteses tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha parênteses igual a abre parênteses tabela linha com 2021 linha com 2022 fim da tabela fecha parênteses fim do estilo

é correto afirmar que: 

  • a

    se k = 0, o sistema não tem solução.

  • b

    se k = −1, o sistema tem infinitas soluções.

  • c

    se k = −1, o sistema não tem solução.

  • d

    se k = 3, o sistema tem infinitas soluções.

A matriz B é dada por

começar estilo tamanho matemático 14px reto B espaço igual a espaço abre parênteses tabela linha com 1 reto k linha com 3 célula com reto k ao quadrado fim da célula fim da tabela fecha parênteses espaço mais espaço abre parênteses tabela linha com 1 3 linha com reto k célula com reto k ao quadrado fim da célula fim da tabela fecha parênteses espaço igual a espaço abre parênteses tabela linha com 2 célula com reto k espaço mais espaço 3 fim da célula linha com célula com reto k espaço mais espaço 3 fim da célula célula com 2 reto k ao quadrado fim da célula fim da tabela fecha parênteses fim do estilo

O sistema linear representado na equação matricial é

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço parêntese esquerdo reto k espaço mais espaço 3 parêntese direito reto y espaço igual a espaço 2021 fim da célula linha com célula com parêntese esquerdo reto k espaço mais espaço 3 parêntese direito reto x espaço mais espaço 2 reto k ao quadrado reto y espaço igual a 2022 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

O determinante da matriz dos coeficientes desse sistema (a matriz B) é tal que

começar estilo tamanho matemático 14px detB espaço igual a espaço abre barra vertical tabela linha com 2 célula com reto k espaço mais espaço 3 fim da célula linha com célula com reto k espaço mais espaço 3 fim da célula célula com 2 reto k ao quadrado fim da célula fim da tabela fecha barra vertical espaço igual a espaço 3 parêntese esquerdo reto k ao quadrado espaço menos espaço 2 reto k espaço menos espaço 3 parêntese direito espaço igual a espaço 3 parêntese esquerdo reto k espaço menos espaço 3 parêntese direito parêntese esquerdo reto k espaço mais espaço 1 parêntese direito fim do estilo

 

1º) Se detB ≠ 0, ou seja, k ≠ 3 e k ≠ -1, então o sistema admite uma única solução;

2º) Se detB = 0, ou seja, k = 3 ou k = -1, tem-se os sistemas

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço 6 reto y espaço igual a espaço 2021 fim da célula linha com célula com 6 reto x espaço mais espaço 18 reto y espaço igual a 2022 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo   e    começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço 2 reto y espaço igual a espaço 2021 fim da célula linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço 2 reto y espaço igual a 2022 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

que são equivalentes a, respectivamente,

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço 6 reto y espaço igual a espaço 2021 fim da célula linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço 6 reto y espaço igual a 674 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo   e    começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço 2 reto y espaço igual a espaço 2021 fim da célula linha com célula com 2 reto x espaço mais espaço 2 reto y espaço igual a 2022 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

Em ambos os casos, observe que o sistema não admite solução, pois possuem equações incompatíveis.