Um plano de inclinação θ situa-se sobre uma mesa horizontal de altura 4h, conforme indicado na figura. Um carrinho de massa m parte do repouso no ponto A, localizado a uma altura h em relação à superfície da mesa, até atingir o ponto B na parte inferior do plano para então executar um movimento apenas sob a ação da gravidade até atingir o solo a uma distância horizontal D da base da mesa, conforme mostra a figura. Ao utilizarmos rampas com diferentes inclinações θ (com o carrinho sempre partindo de uma mesma altura h), obtemos diferentes alcances horizontais D.

a) Calcule o intervalo de tempo decorrido entre a partida do carrinho, situado inicialmente no topo do plano inclinado, até atingir o solo, considerando o valor para a inclinação θ = 90°.

b) Usando a conservação da energia mecânica e supondo agora uma inclinação θ qualquer, obtenha o módulo do vetor velocidade começar estilo tamanho matemático 14px abre barra vertical espaço v com seta para a direita sobrescrito fecha barra vertical fim do estilo com que o carrinho deixa a superfície do plano inclinado.

c) Encontre o valor do alcance D supondo que a inclinação do plano seja de θ = 45°.

Note e adote:
Considere conhecido o módulo g da aceleração da gravidade. Despreze o efeito de forças dissipativas.

a) Como θ = 90°, a distância entre A e B é “h”. Assim sendo, podemos considerar que o carrinho executa queda livre (movimento uniformemente variado) de uma altura total de “5h”. Logo:

começar estilo tamanho matemático 14px ΔS espaço igual a espaço reto v com 0 subscrito reto t espaço mais espaço estreito gt ao quadrado sobre 2 fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 5 reto h espaço igual a espaço gt ao quadrado sobre 2 fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto t espaço igual a espaço raiz quadrada de numerador 10 reto h sobre denominador reto g fim da fração fim da raiz fim do estilo

b) O carrinho, durante seu movimento sobre o plano inclinado, é um sistema conservativo, logo, sua energia mecânica permanece constante.

começar estilo tamanho matemático 14px reto E com mec subscrito com reto B sobrescrito espaço igual a espaço reto E com mec subscrito com reto A sobrescrito fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto m numerador reto v com reto B subscrito com 2 sobrescrito sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço mgh fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto v com reto B subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 gh fim da raiz fim do estilo

c) Determinando as componentes da velocidade (começar estilo tamanho matemático 14px reto v com seta para a direita sobrescrito com reto B subscrito fim do estilo) do carrinho no instante que ele perde o contato com o apoio, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v com reto B com reto x subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço reto v com reto B com reto y subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 gh fim da raiz vezes numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço raiz quadrada de gh fim do estilo

Na direção vertical, o movimento é uniformemente variado, logo, podemos calcular o tempo de queda da seguinte forma:

começar estilo tamanho matemático 14px ΔS com reto y subscrito espaço igual a espaço reto v com reto B com reto y subscrito subscrito fim do subscrito reto t espaço mais espaço estreito reto g sobre 2 reto t ao quadrado fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 4 reto h espaço igual a espaço raiz quadrada de gh vezes reto t espaço mais espaço estreito reto g sobre 2 reto t ao quadrado fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto g sobre 2 reto t ao quadrado espaço mais espaço estreito raiz quadrada de gh vezes reto t espaço menos espaço 4 reto h espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Resolvendo a equação do 2º grau, começar estilo tamanho matemático 14px reto a espaço igual a espaço reto g sobre 2 fim do estilo, começar estilo tamanho matemático 14px reto b espaço igual a espaço raiz quadrada de gh fim do estilocomeçar estilo tamanho matemático 14px reto c espaço igual a espaço menos espaço 4 reto h fim do estilo:

começar estilo tamanho matemático 14px reto delta maiúsculo espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço menos espaço 4 ac fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto delta maiúsculo espaço igual a espaço abre parênteses raiz quadrada de gh fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 4 vezes reto g sobre 2 vezes abre parênteses menos espaço 4 reto h fecha parênteses fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto delta maiúsculo espaço igual a espaço 9 gh fim do estilo

Logo:

começar estilo tamanho matemático 14px reto t espaço igual a espaço numerador menos espaço reto b espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de reto delta maiúsculo sobre denominador 2 reto a fim da fração espaço igual a espaço numerador menos espaço raiz quadrada de gh espaço mais ou menos raiz quadrada de 9 gh fim da raiz sobre denominador 2 vezes começar estilo mostrar reto g sobre 2 fim do estilo fim da fração fim do estilo

Assim: começar estilo tamanho matemático 14px reto t apóstrofo espaço igual a espaço 2 espaço raiz quadrada de reto h sobre reto g fim da raiz fim do estilo ou começar estilo tamanho matemático 14px reto t apóstrofo apóstrofo espaço menor que espaço 0 fim do estilo.

Na direção horizontal, o movimento é uniforme, logo:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v com reto B com reto x subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço constante espaço igual a espaço ΔS com reto x subscrito sobre Δt fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px raiz quadrada de gh espaço igual a espaço numerador reto D sobre denominador 2 espaço raiz quadrada de começar estilo mostrar reto h sobre reto g fim do estilo fim da raiz fim da fração fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto D espaço igual a espaço 2 reto h fim do estilo