É dado o sistema linear
,
em que p e q são números reais.
a) Determine todos os valores de p e q para que o sistema seja possível e indeterminado (isto é, tenha mais do que uma solução).
b) Determine todos os valores de p e q para que o sistema tenha solução (x; y) com x =0.
c) Determine todos os valores de p e q para que o sistema não tenha solução.
a) Para escalonar o sistema, multiplicando ambos os membros da primeira equação por p e, os da segunda, por –2 tem-se:
Somando as equações membro a membro, tem-se:
Se o fator (3p – 2q) for diferente de zero, a equação admitirá uma única solução. Dessa forma, para que o sistema seja possível e indeterminado, uma condição necessária é:
Reescrevendo a equação (I), tem-se:
Como o primeiro membro é nulo, a equação só tem solução se o segundo membro também for nulo, ou seja:
Como , tem-se:
b) Para que solução seja da forma (0, y), deve-se ter:
Resolvendo a primeira equação, tem-se . Substituindo na segunda, obtém-se:
Note que essa conclusão não depende do valor de p, que pode ser qualquer número real. Dessa forma, conclui-se que, se e
, o sistema tem como solução o par
.
c) Como visto na resolução do item a, deve-se ter (se
, tem-se um sistema possível e determinado), de modo que a equação (I) pode ser reescrita como:
Como o primeiro membro é nulo, a equação só não tem solução se o segundo membro não for nulo, ou seja: