São dados os pontos no plano cartesiano P1 = (3; 3), P2 = (5; 1), P3 = (3; −1) e P4 = (−2; 5).

a) Determine a equação da reta que passa por P3 e é paralela à reta que passa por P1 e P4.

b) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos P1,P2 e P3.

c) Sendo C a circunferência do item (b) e P o ponto de intersecção de C com o eixo Ox, que está mais próximo da origem, determine a equação da reta tangente a C em P. 

a) O coeficiente angular começar estilo tamanho matemático 14px reto m com reto P com 1 subscrito reto P com 4 subscrito subscrito fim do subscrito fim do estilo da reta começar estilo tamanho matemático 14px pilha reto P com 1 subscrito reto P com 4 subscrito com seta para a esquerda e para a direita acima fim do estilo é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto m com reto P com 1 subscrito reto P com 4 subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador 5 espaço menos espaço 3 sobre denominador menos 2 espaço menos 3 fim da fração espaço igual a espaço menos 2 sobre 5 fim do estilo

Sendo assim, a equação da reta paralela a começar estilo tamanho matemático 14px pilha reto P com 1 subscrito reto P com 4 subscrito com seta para a esquerda e para a direita acima fim do estilo que passa pelo ponto P3 é:

começar estilo tamanho matemático 14px atributos de tabela alinhamento de coluna right center left espaçamento de coluna 0px fim dos atributos linha com célula com reto y espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço fim da célula igual a célula com espaço menos 2 sobre 5 parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço 3 parêntese direito fim da célula linha com célula com então espaço espaço espaço 2 reto x espaço mais espaço 5 reto y espaço menos espaço 1 espaço fim da célula igual a célula com espaço 0 fim da célula fim da tabela fim do estilo

 

b) Seja o ponto começar estilo tamanho matemático 14px reto A espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto x com reto A subscrito vírgula espaço reto y com reto A subscrito parêntese direito fim do estilo o centro da circunferência que passa por P1, P2 e P3.
Dado que o centro da circunferência pertence à mediatriz de toda corda dessa circunferência, o ponto A tem que estar na mediatriz de começar estilo tamanho matemático 14px pilha reto P com 1 subscrito reto P com 3 subscrito com barra acima fim do estilo. Como o segmento começar estilo tamanho matemático 14px pilha reto P com 1 subscrito reto P com 3 subscrito com barra acima fim do estilo é vertical e tem como ponto médio o ponto M = (3, 1), pode-se concluir que:

  • o ponto M dista duas unidades de P1 e de P3;
  • o ponto A pertence à reta horizontal de equação y = 1. Logo yA = 1.

Igualando as distâncias de A a P1 e de A a P2, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px atributos de tabela alinhamento de coluna right center left espaçamento de coluna 0px fim dos atributos linha com célula com raiz quadrada de parêntese esquerdo reto x com reto A subscrito espaço menos espaço 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço 3 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço fim da célula igual a célula com espaço raiz quadrada de parêntese esquerdo reto x com reto A subscrito espaço menos espaço 5 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço 1 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço fim da célula linha com célula com então espaço espaço espaço reto x com reto A subscrito ao quadrado espaço menos espaço 6 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço 9 espaço mais espaço 4 espaço fim da célula igual a célula com espaço espaço reto x com reto A subscrito ao quadrado espaço menos espaço 10 reto x com reto A subscrito espaço mais espaço 25 fim da célula linha com célula com então espaço espaço espaço reto x com reto A subscrito espaço fim da célula igual a célula com espaço 3 fim da célula fim da tabela fim do estilo

Assim, o ponto A coincide com o ponto M e, portanto, temos uma circunferência de centro (3, 1) e raio 2. Sendo assim, a equação da circunferência é:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y espaço menos espaço 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 4 fim do estilo


c) Os pontos de interseção entre C e o eixo Ox são as soluções do seguinte sistema:

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com parêntese esquerdo reto x espaço menos 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y espaço menos espaço 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 4 fim da célula linha com célula com reto y espaço igual a espaço 0 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

Resolvendo o sistema, obtém-se começar estilo tamanho matemático 14px reto x espaço igual a espaço 3 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 3 fim do estilo e, portanto, os pontos de interseção são começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 3 vírgula espaço 0 parêntese direito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço raiz quadrada de 3 vírgula espaço 0 parêntese direito fim do estilo.
Dado que P é o ponto mais próximo da origem, tem-se começar estilo tamanho matemático 14px reto P espaço igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço raiz quadrada de 3 vírgula espaço 0 parêntese direito fim do estilo.
O coeficiente angular mPA da reta começar estilo tamanho matemático 14px PA com seta para a esquerda e para a direita sobrescrito fim do estilo é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto m com PA subscrito espaço igual a espaço numerador 1 espaço menos espaço 0 sobre denominador 3 espaço menos espaço parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração espaço igual a espaço numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração fim do estilo 

Como a reta tangente a C em P é perpendicular a começar estilo tamanho matemático 14px PA com seta para a esquerda e para a direita sobrescrito fim do estilo, tem-se que seu coeficiente angular mt satisfaz a seguinte igualdade:

começar estilo tamanho matemático 14px atributos de tabela alinhamento de coluna right center left espaçamento de coluna 0px fim dos atributos linha com célula com reto m com reto t subscrito vezes reto m com PA subscrito espaço fim da célula igual a célula com espaço menos 1 fim da célula linha com célula com então espaço espaço espaço reto m com reto t subscrito espaço fim da célula igual a célula com espaço menos raiz quadrada de 3 fim da célula linha com blank blank blank fim da tabela fim do estilo

Sendo assim, a equação dessa reta é:

começar estilo tamanho matemático 14px atributos de tabela alinhamento de coluna right center left espaçamento de coluna 0px fim dos atributos linha com célula com reto y espaço menos espaço 0 espaço fim da célula igual a célula com espaço menos raiz quadrada de 3 parêntese recto esquerdo reto x espaço menos espaço parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço raiz quadrada de 3 parêntese direito parêntese recto direito fim da célula linha com célula com então espaço espaço espaço reto y espaço fim da célula igual a célula com espaço menos raiz quadrada de 3 reto x espaço mais espaço 3 raiz quadrada de 3 espaço menos espaço 3 fim da célula linha com blank blank blank fim da tabela fim do estilo