Uma caixa possui n cartas, numeradas de 1 até n. Desta caixa são sorteadas, ao acaso, m cartas.

a) Para n = 10 e m = 6, qual é a probabilidade de que entre as cartas sorteadas tenha saído uma com o número 1?

b) Estabeleça uma fórmula que calcule a probabilidade de que, entre as m cartas sorteadas do total de n cartas, tenham saído k cartas pré-estabelecidas, com k variando de 1 até m. Apresente sua fórmula com notação de fatorial, simplificada ao máximo, e com o domínio de validade de n, m e k.

a) O espaço amostral é composto por todos os grupos de 6 cartas que podem ser formados escolhendo-as dentre 10 disponíveis. Dessa forma, seu número de elementos é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com 10 vírgula 6 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador 10 fatorial sobre denominador 6 fatorial fim da fração espaço igual a espaço 210 fim do estilo

Se uma das cartas escolhidas tiver o número 1, basta escolher as 5 restantes dentre as 9 disponíveis, de modo que o número de possibilidades seja:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com 9 vírgula 5 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador 9 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração espaço igual a espaço 126 fim do estilo

Dessa forma, a probabilidade pedida é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com 9 vírgula 5 subscrito fim do subscrito sobre reto C com 10 vírgula 6 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço 126 sobre 210 espaço igual a 3 sobre 5 fim do estilo

b) O espaço amostral é composto por todos os grupos de m cartas que podem ser formados escolhendo-as dentre n disponíveis (note que devemos ter começar estilo tamanho matemático 14px reto n espaço maior ou igual a espaço reto m espaço maior ou igual a espaço 1 fim do estilo). Dessa forma, seu número de elementos é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com reto n vírgula reto m subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador reto n fatorial sobre denominador reto m fatorial vezes parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto m parêntese direito fatorial fim da fração fim do estilo

Se k das cartas já foram preestabelecidas (deve-se ter começar estilo tamanho matemático 14px 1 espaço menor ou igual a espaço reto k espaço menor ou igual a espaço reto m fim do estilo), basta escolher as (m – k) restantes dentre as (n – k) disponíveis, de modo que o número de possibilidades seja:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto k parêntese direito vírgula parêntese esquerdo reto m espaço menos espaço reto k parêntese direito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto k parêntese direito fatorial sobre denominador parêntese esquerdo reto m espaço menos espaço reto k parêntese direito fatorial vezes parêntese recto esquerdo parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto k parêntese direito espaço menos espaço parêntese esquerdo reto m espaço menos espaço reto k parêntese direito parêntese recto direito fatorial fim da fração espaço igual a espaço numerador parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto k parêntese direito fatorial sobre denominador parêntese esquerdo reto m espaço menos espaço reto k parêntese direito fatorial vezes parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto m parêntese direito fatorial fim da fração fim do estilo

Dessa forma, a probabilidade pedida é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto k parêntese direito vírgula parêntese esquerdo reto m espaço menos espaço reto k parêntese direito subscrito fim do subscrito sobre reto C com reto n vírgula reto m subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador numerador parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto k parêntese direito fatorial sobre denominador parêntese esquerdo reto m espaço menos espaço reto k parêntese direito fatorial vezes parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto m parêntese direito fatorial fim da fração sobre denominador começar estilo mostrar numerador reto n fatorial sobre denominador reto m fatorial vezes parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto m parêntese direito fatorial fim da fração fim do estilo fim da fração espaço igual a espaço numerador reto m fatorial sobre denominador reto n fatorial fim da fração vezes numerador parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto k parêntese direito fatorial sobre denominador parêntese esquerdo reto m espaço menos espaço reto k parêntese direito fatorial fim da fração fim do estilo