Em um plano cartesiano de origem A = (0, 0) foram desenhados os quadrados ABCD, DEFG e HIJD. Sabe-se que B = (0, 5), G = (8, 0), H pertence ao eixo das abscissas, J está na intersecção de começar estilo tamanho matemático 14px BG com barra sobrescrito fim do estilo com começar estilo tamanho matemático 14px CD com barra sobrescrito fim do estilo e λ é uma circunferência que passa por B, C e G, como mostra a figura.

a) Determine as áreas dos triângulos CEF e JIB, em unidades de área do plano cartesiano.

b) Determine as coordenadas do centro de λ e seu raio.

a) Como B(0,5) e G(8,0), então o quadrado ABCD tem lado medindo 5 e, assim, D(5,0) e C(5,5). Além disso, como AG = 8 e AD = 5, tem-se DG = 3 e, portanto, o lado do quadrado DEFG mede 3. Dessa forma, EF = 3 e CE = CD – ED = 5 – 3 = 2. Logo, a área do triângulo CEF vale começar estilo tamanho matemático 14px numerador 3 vezes 2 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 3 fim do estilo.

A partir da semelhança entre os triângulos JDG e BAG, é possível escrever:

começar estilo tamanho matemático 14px JD sobre BA espaço igual a espaço numerador começar estilo mostrar DG fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar AG fim do estilo fim da fração espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço JD sobre 5 espaço igual a espaço 3 sobre 8 espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço JD espaço igual a espaço 15 sobre 8 fim do estilo

Portanto, o lado do quadrado HIJD mede começar estilo tamanho matemático 14px 15 sobre 8 fim do estilo e, assim, começar estilo tamanho matemático 14px CJ espaço igual a espaço CD espaço menos espaço JD espaço igual a espaço 5 espaço menos 15 sobre 8 espaço igual a numerador espaço 25 sobre denominador 8 fim da fração fim do estilo. Logo, a área do triângulo BIJ vale começar estilo tamanho matemático 14px numerador começar estilo mostrar 15 sobre 8 vezes 25 sobre 8 fim do estilo sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 375 sobre 128 fim do estilo.

b) Denotando por C(a,b) as coordenadas do centro da circunferência e R a medida do raio, como a circunferência contém os pontos (0,5), (5,5) e (8,0), é possível escrever:

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com tabela linha com célula com parêntese esquerdo 0 espaço menos espaço reto a parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 espaço menos espaço reto b parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço reto R ao quadrado espaço espaço espaço parêntese esquerdo reto I parêntese direito fim da célula linha com célula com parêntese esquerdo 5 espaço menos espaço reto a parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 espaço menos espaço reto b parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço reto R ao quadrado espaço espaço espaço parêntese esquerdo II parêntese direito fim da célula fim da tabela fim da célula linha com célula com parêntese esquerdo 8 espaço menos espaço reto a parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 0 espaço menos espaço reto b parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço reto R ao quadrado espaço espaço espaço parêntese esquerdo III parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

Igualando (I) e (II), obtém-se:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 0 espaço menos espaço reto a parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 espaço menos espaço reto b parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 5 espaço menos espaço reto a parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 espaço menos espaço reto b parêntese direito ao quadrado espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço reto a ao quadrado espaço igual a espaço 25 espaço menos 10 reto a espaço mais espaço reto a ao quadrado espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço 10 reto a espaço igual a espaço 25 espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço reto a espaço igual a espaço 5 sobre 2 fim do estilo

Igualando (II) e (III), com começar estilo tamanho matemático 14px reto a espaço igual a espaço 5 sobre 2 espaço fim do estilo :

começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 5 espaço menos espaço 5 sobre 2 fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 espaço menos espaço reto b parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses 8 espaço menos espaço 5 sobre 2 fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço reto b ao quadrado espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço 25 sobre 4 espaço mais espaço 25 espaço menos espaço 10 reto b espaço mais espaço reto b ao quadrado espaço igual a espaço 121 sobre 4 espaço mais espaço reto b ao quadrado espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço 10 reto b espaço igual a espaço 1 espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço reto b espaço igual a espaço 1 sobre 10 fim do estilo

Substituindo começar estilo tamanho matemático 14px reto a espaço igual a espaço 5 sobre 2 espaço fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px reto b espaço igual a espaço 1 sobre 10 espaço fim do estilo em (I), obtém-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto R ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses 0 espaço menos espaço 5 sobre 2 fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 5 espaço menos espaço 1 sobre 10 fecha parênteses ao quadrado espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço reto R ao quadrado espaço igual a espaço 25 sobre 4 espaço mais espaço numerador 2 espaço 401 sobre denominador 100 fim da fração espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço reto R ao quadrado espaço igual a espaço numerador 3 espaço 026 sobre denominador 100 fim da fração espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço reto R ao quadrado espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de 3 espaço 026 fim da raiz sobre denominador 10 fim da fração fim do estilo

As coordenadas do centro são começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 5 sobre 2 vírgula espaço 1 sobre 10 fecha parênteses fim do estilo e o raio mede começar estilo tamanho matemático 14px numerador raiz quadrada de 3 espaço 026 fim da raiz sobre denominador 10 fim da fração fim do estilo.