Amigo secreto é uma brincadeira tradicional nas festas de fim de ano. Um grupo de amigos se reúne e cada um deles sorteia o nome da pessoa que irá presentear. No dia da troca de presentes, uma primeira pessoa presenteia seu amigo secreto. Em seguida, o presenteado revela seu amigo secreto e o presenteia. A brincadeira continua até que todos sejam presenteados, mesmo no caso em que o ciclo se fecha. Dez funcionários de uma empresa, entre eles um casal, participarão de um amigo secreto. A primeira pessoa a revelar será definida por sorteio.

Qual é a probabilidade de que a primeira pessoa a revelar o seu amigo secreto e a última presenteada sejam as duas pessoas do casal?

  • a

    começar estilo tamanho matemático 14px 1 quinto fim do estilo

  • b

    começar estilo tamanho matemático 14px 1 sobre 45 fim do estilo

  • c

    começar estilo tamanho matemático 14px 1 sobre 50 fim do estilo

  • d

    começar estilo tamanho matemático 14px 1 sobre 90 fim do estilo

  • e

    começar estilo tamanho matemático 14px 1 sobre 100 fim do estilo

Nota inicial

Ressaltamos que a questão, da forma como foi apresentada, exige conteúdo de probabilidade que não faz parte do programa do Ensino Médio. 

Sejam A e B as duas pessoas do casal, a probabilidade de que uma delas seja sorteada para iniciar a revelação do amigo secreto é começar estilo tamanho matemático 14px reto p com 1 subscrito espaço igual a espaço 2 sobre 10 fim do estilo.
Dado que A tenha sido sorteada para iniciar a revelação, deve-se agora calcular a probabilidade p2 de que B seja a última presenteada.

Primeiramente, vamos calcular o total de resultados distintos que o sorteio inicial pode ter. Para isso, calculamos o número de permutações caóticas de 10 elementos (uma permutação caótica é aquela em que nenhum elemento permanece em sua posição original, uma vez que nenhuma pessoa pode sortear a si mesma na brincadeira de amigo secreto). Pode-se provar que esse número é dado por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto D com 10 subscrito espaço igual a espaço 10 fatorial espaço vezes espaço abre parênteses numerador 1 sobre denominador 2 fatorial fim da fração espaço menos espaço numerador 1 sobre denominador 3 fatorial fim da fração espaço mais espaço numerador 1 sobre denominador 4 fatorial fim da fração espaço menos espaço numerador 1 sobre denominador 5 fatorial fim da fração espaço mais espaço numerador 1 sobre denominador 6 fatorial fim da fração espaço menos espaço numerador 1 sobre denominador 7 fatorial fim da fração espaço mais espaço numerador 1 sobre denominador 8 fatorial fim da fração espaço menos espaço numerador 1 sobre denominador 9 fatorial fim da fração espaço mais espaço numerador 1 sobre denominador 10 fatorial fim da fração fecha parênteses espaço espaço espaço então espaço espaço espaço reto D com 10 subscrito espaço igual a espaço 1 espaço 334 espaço 961 fim do estilo

Dentre essas possibilidades, vamos contar em quantas a pessoa A inicia a revelação e é também a última presenteada. A sequência abaixo ilustra uma dessas possibilidades, em que A presenteia B, B presenteia C, e assim sucessivamente:

A → B → C → D → E → F → G → H → I → J → A

Como A deve iniciar e terminar a sequência, tem-se um total de 9! = 362 880 possibilidades. Dessa forma, o número de possibilidades em que A não é a última pessoa a ser presenteada é dada pela diferença:

1 334 961 – 362 880 = 972 081

Cada uma das outras 9 pessoas é a última a ser presenteada em um número igual de possibilidades. Assim, B será a última a ser presenteada em um número de possibilidades dado por:

começar estilo tamanho matemático 14px numerador 972 espaço estreito 081 sobre denominador 9 fim da fração espaço igual a espaço 108 espaço estreito 009 fim do estilo

Logo, a probabilidade p2 é tal que:

começar estilo tamanho matemático 14px reto p com 2 subscrito espaço igual a espaço numerador 108 espaço estreito 009 sobre denominador 1 espaço estreito 334 espaço estreito 961 fim da fração espaço igual a espaço numerador 12 espaço estreito 001 sobre denominador 148 espaço estreito 329 fim da fração fim do estilo

Portanto, a probabilidade P pedida é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto P espaço igual a espaço reto p com 1 subscrito espaço vezes espaço reto p com 2 subscrito espaço igual a espaço 2 sobre 10 espaço vezes espaço numerador 12 espaço estreito 001 sobre denominador 148 espaço estreito 329 fim da fração espaço igual a espaço numerador 12 espaço estreito 001 sobre denominador 741 espaço estreito 645 fim da fração fim do estilo

Dessa forma, não há alternativa correta.

Nota: Se fosse perguntada a probabilidade de que a primeira e a última pessoa presenteadas fossem as duas do casal, então teríamos começar estilo tamanho matemático 14px 2 sobre 10 espaço vezes espaço 1 sobre 9 espaço igual a espaço 1 sobre 45 fim do estilo. No entanto, a pergunta feita no enunciado foi diferente, e a resposta não se encontrava entre as alternativas apresentadas.