Você foi contratado para sincronizar os quatro semáforos de uma avenida, indicados pelas letras O, A, B e C, conforme a figura.

Os semáforos estão separados por uma distância de 500 m. Segundo os dados estatísticos da companhia controladora de trânsito, um veículo, que está inicialmente parado no semáforo O, tipicamente parte com aceleração constante de 1 m s−2 até atingir a velocidade de 72 km h−1 e, a partir daí, prossegue com velocidade constante. Você deve ajustar os semáforos A, B e C de modo que eles mudem para a cor verde quando o veículo estiver a 100 m de cruzá-los, para que ele não tenha que reduzir a velocidade em nenhum momento.

Considerando essas condições, aproximadamente quanto tempo depois da abertura do semáforo O os semáforos A, B e C devem abrir, respectivamente?

  • a

    20 s, 45 s e 70 s.

  • b

    25 s, 50 s e 75 s.

  • c

    28 s, 42 s e 53 s.

  • d

    30 s, 55 s e 80 s.

  • e

    35 s, 60 s e 85 s.

O deslocamento realizado pelo veículo a partir de O, em MUV, pode ser obtido pela equação de Torricelli:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v ao quadrado espaço igual a espaço reto v com 0 subscrito com 2 sobrescrito espaço mais espaço 2 reto a incremento reto s fim do estilo onde começar estilo tamanho matemático 14px reto v espaço igual a espaço 20 espaço tipográfico reto m sobre reto s fim do estilo ; começar estilo tamanho matemático 14px reto v com 0 subscrito espaço igual a espaço 0 fim do estilo ; começar estilo tamanho matemático 14px reto a espaço igual a espaço 1 espaço tipográfico reto m sobre reto s ao quadrado fim do estilo

Substituindo-se os valores, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px 20 ao quadrado espaço igual a espaço 0 ao quadrado espaço mais espaço 2 espaço vezes espaço 1 espaço vezes espaço incremento reto s espaço espaço espaço então espaço espaço incremento reto s espaço igual a espaço 200 espaço reto m fim do estilo

O tempo para esse deslocamento pode ser obtido pela equação:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v espaço igual a espaço reto v com 0 subscrito espaço mais espaço at fim do estilo em que: começar estilo tamanho matemático 14px reto v espaço igual a espaço 20 espaço tipográfico reto m sobre reto s fim do estilo ; começar estilo tamanho matemático 14px reto v com 0 subscrito espaço igual a espaço 0 fim do estilo ; começar estilo tamanho matemático 14px reto a espaço igual a espaço 1 espaço tipográfico reto m sobre reto s ao quadrado fim do estilo

Substituindo-se os valores, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px 20 espaço igual a espaço 0 espaço mais espaço 1 espaço vezes espaço reto t espaço espaço então espaço espaço reto t espaço igual a espaço 20 espaço reto s fim do estilo

A partir de então, o veículo move-se com velocidade constante de 20 m/s e a situação do enunciado pode ser ilustrada como na figura:

Assim, o semáforo A deve mudar para a cor verde no instante t1, que pode ser calculado a partir da definição de velocidade escalar média:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v espaço igual a espaço numerador incremento reto s sobre denominador incremento reto t fim da fração espaço espaço então espaço espaço 20 espaço igual a espaço numerador 200 sobre denominador reto t com 1 subscrito espaço menos espaço 20 fim da fração espaço espaço então espaço espaço reto t com 1 subscrito espaço igual a espaço 30 espaço reto s fim do estilo

O semáforo B, por sua vez, deve mudar para a cor verde no instante t2, que pode ser determinado novamente a partir da definição de velocidade escalar média:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v espaço igual a espaço numerador incremento reto s sobre denominador incremento reto t fim da fração espaço espaço então espaço espaço 20 espaço igual a espaço numerador 500 sobre denominador reto t com 2 subscrito espaço menos espaço 30 fim da fração espaço espaço então espaço espaço reto t com 2 subscrito espaço igual a espaço 55 espaço reto s fim do estilo

Por fim, o semáforo C deve mudar para a cor verde no instante t3, que também pode ser determinado a partir da definição de velocidade escalar média:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v espaço igual a espaço numerador incremento reto s sobre denominador incremento reto t fim da fração espaço espaço então espaço espaço 20 espaço igual a espaço numerador 500 sobre denominador reto t com 3 subscrito espaço menos espaço 55 fim da fração espaço espaço então espaço espaço reto t com 3 subscrito espaço igual a espaço 80 espaço reto s fim do estilo