Um garoto foi à loja comprar um estilingue e encontrou dois modelos: um com borracha mais “dura” e outro com borracha mais “mole”. O garoto concluiu que o mais adequado seria o que proporcionasse maior alcance horizontal, D, para as mesmas condições de arremesso, quando submetidos à mesma força aplicada. Sabe-se que a constante elástica kd (do estilingue mais “duro”) é o dobro da constante elástica km (do estilingue mais “mole”). 

A razão entre os alcances «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/mfrac»«/mstyle»«/math», referentes aos estilingues com borrachas “dura” e “mole”, respectivamente, é igual a 

  • a

    «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

  • b

    «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

  • c

    1. 

  • d

    2. 

  • e

    4. 

As figuras a seguir representam todo o processo, descrito de maneira esquemática.

  • Figura 1: elástico na posição de deformação máxima.

  • Figura 2: elástico sem deformação e corpo abandonando o elástico.

  • Figura 3: descrição de todo o lançamento, que será considerado oblíquo e a partir do solo:

De acordo com o enunciado, os dois elásticos foram submetidos a forças de mesma intensidade:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Admitindo-se que ambos os elásticos deformem no regime elástico de deformação:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»K«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»X«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»K«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»X«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«mtd»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»K«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/menclose»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»X«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»K«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/menclose»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»X«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»§#8756;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»X«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»X«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Enquanto o elástico volta ao seu comprimento natural (entre figuras 1 e 2), a única força aplicada no corpo é a elástica. Assim, entre as figuras 1 e 2, o sistema é conservativo.

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»E«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»E«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»K«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»X«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»mv«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»§#8756;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfrac»«msup»«mi»mv«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»k«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

A expressão (2) vale para ambas as situações (com mola dura e mole). Portanto, utilizando-se a expressão (1):

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msqrt»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msubsup»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»K«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/mfrac»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msqrt»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»Vd«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»K«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«/mfrac»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»§#8756;«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«msubsup»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

O alcance horizontal é dado por:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msubsup»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mo»§#160;«/mo»«mo».«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#952;«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»Dg«/mi»«mrow»«mi»sen«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#952;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»4«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Aplicando-se a expressão (3) em (4):

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«mo»§#160;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/menclose»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sen«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#952;«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/menclose»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sen«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#952;«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#8756;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/msub»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Obs.: Caso não seja feita a hipótese do lançamento oblíquo a partir do solo, não há alternativa que satisfaça as informações dadas no enunciado.