Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang'e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar.

Considere que a trajetória de uma sonda com destino à Lua passa por um ponto P, localizado a 2/3 dTL do centro da Terra e a 1/3 dTL do centro da Lua, sendo dTL a distância entre os centros da Terra e da Lua.

a) Considerando que a massa da Terra é cerca de 82 vezes maior que a massa da Lua, determine a razão FT/FL entre os módulos da força gravitacional que a Terra e a Lua, respectivamente, exercem sobre a sonda no ponto P.

Ao chegar próximo à Lua, a sonda foi colocada em uma órbita lunar circular a uma altura igual ao raio da Lua (RL), acima de sua superfície, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da força gravitacional da Terra e de outros corpos celestes ao longo da órbita da sonda,

b) determine a velocidade orbital da sonda em torno da Lua em termos da constante gravitacional G, da massa da Lua ML e do raio da Lua RL;

c) determine a variação da energia mecânica da nave quando a altura da órbita, em relação à superfície da Lua, é reduzida para 0,5 RL. Expresse seu resultado em termos de G, RL, ML e da massa da sonda mS.

Note e adote:
O módulo da força gravitacional entre dois objetos de massas M e m separados por uma distância d é dado por começar estilo tamanho matemático 14px F igual a numerador G M m sobre denominador d ao quadrado fim da fração fim do estilo.
A energia potencial gravitacional correspondente é dada por começar estilo tamanho matemático 14px U igual a menos numerador G M m sobre denominador d fim da fração fim do estilo.
Assuma a distância da Terra à Lua como sendo constante.

a) Como começar estilo tamanho matemático 14px reto F espaço igual a espaço GMm sobre reto d ao quadrado fim do estilo, então:

começar estilo tamanho matemático 14px reto F com reto T subscrito sobre reto F com reto L subscrito espaço igual a espaço numerador começar estilo mostrar tipográfico numerador diagonal para cima risco reto G reto M com reto T subscrito diagonal para cima risco reto m sobre denominador começar estilo mostrar abre parênteses 2 sobre 3 reto d com TL subscrito fecha parênteses fim do estilo fim da fração ao quadrado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar tipográfico numerador diagonal para cima risco reto G reto M com reto L subscrito diagonal para cima risco reto m sobre denominador começar estilo mostrar abre parênteses 1 terço reto d com TL subscrito fecha parênteses fim do estilo fim da fração ao quadrado fim do estilo fim da fração espaço igual a espaço numerador começar estilo mostrar tipográfico numerador 82 espaço reto M com reto L subscrito sobre denominador 4 espaço reto d com TL subscrito com 2 sobrescrito fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar tipográfico numerador reto M com reto L subscrito sobre denominador reto d com TL subscrito com 2 sobrescrito fim da fração fim do estilo fim da fração fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço espaço espaço reto F com reto T subscrito sobre reto F com reto L subscrito espaço igual a espaço 20 vírgula 5 fim do estilo

b) Estando a sonda em órbita em torno da Lua:

começar estilo tamanho matemático 14px reto R com cp subscrito espaço igual a espaço reto F com reto g subscrito fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px numerador diagonal para cima risco reto m espaço vezes espaço reto v ao quadrado sobre denominador 2 reto R com reto L subscrito fim da fração espaço igual a espaço numerador GM com reto L subscrito diagonal para cima risco reto m sobre denominador parêntese esquerdo 2 reto R com reto L subscrito parêntese direito ao quadrado fim da fração fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço reto v espaço igual a espaço raiz quadrada de numerador reto G espaço vezes espaço reto M com reto L subscrito sobre denominador 2 reto R com reto L subscrito fim da fração fim da raiz fim do estilo

c) Quando o corpo está a uma distância RL da superfície da Lua, sua energia mecânica é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto épsilon com reto M com reto i subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador reto m espaço vezes espaço reto v ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração espaço mais espaço estreito abre parênteses menos numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 2 reto R com reto L subscrito fim da fração fecha parênteses fim do estilo; em que: começar estilo tamanho matemático 14px reto v ao quadrado espaço igual a espaço numerador GM com reto L subscrito sobre denominador 2 reto R com reto L subscrito fim da fração fim do estilo (item b)

Assim: começar estilo tamanho matemático 14px reto épsilon com reto M com reto I subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 4 reto R com reto L subscrito fim da fração espaço menos espaço numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 2 reto R com reto L subscrito fim da fração espaço igual a espaço menos espaço numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 4 reto R com reto L subscrito fim da fração espaço parêntese esquerdo reto I parêntese direito fim do estilo

Para a situação do corpo a uma altura 0,5 RL da superfície da Lua, sua energia mecânica é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto épsilon com reto M com reto f subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador mv apóstrofo ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração espaço mais espaço estreito abre parênteses menos espaço numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 1 vírgula 5 espaço estreito reto R com reto L subscrito fim da fração fecha parênteses fim do estilo, em que: começar estilo tamanho matemático 14px reto v apóstrofo ao quadrado espaço igual a espaço numerador GM com reto L subscrito sobre denominador 1 vírgula 5 espaço estreito reto R com reto L subscrito fim da fração fim do estilo

Assim: começar estilo tamanho matemático 14px reto épsilon com reto M com reto f subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 3 reto R com reto L subscrito fim da fração espaço menos espaço numerador 2 GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 3 reto R com reto L subscrito fim da fração espaço igual a espaço menos espaço 1 terço espaço numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador reto R com reto L subscrito fim da fração espaço parêntese esquerdo II parêntese direito fim do estilo

Portanto, a variação de energia mecânica será:

começar estilo tamanho matemático 14px Δε com mec subscrito espaço igual a espaço reto épsilon com reto M com reto f subscrito subscrito fim do subscrito espaço menos espaço reto épsilon com reto M com reto i subscrito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço menos espaço 1 terço espaço numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador reto R com reto L subscrito fim da fração espaço menos espaço abre parênteses menos numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 4 reto R com reto L subscrito fim da fração fecha parênteses fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px então espaço espaço espaço Δε com mec subscrito espaço igual a espaço menos espaço numerador GM com reto L subscrito reto m sobre denominador 12 espaço estreito reto R com reto L subscrito fim da fração fim do estilo