A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.

Com relação a essa tabela de números:

a) Escolha um quadrado 3 × 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

c) A soma de todos os números de um quadrado ݊n × ݊n, com menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de ݊n?

a)

24 + 27 + 30 = 81
81 é múltiplo de 9

b)

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 4 reto a espaço mais espaço 42 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 4 reto a espaço mais espaço 46 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 4 reto a espaço mais espaço 50 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 4 reto a espaço mais espaço 54 parêntese direito espaço igual a espaço 1056 16 reto a espaço mais espaço 192 espaço igual a espaço 1056 16 reto a espaço igual a espaço 864 espaço espaço então espaço espaço reto a espaço igual a espaço 54 espaço parêntese esquerdo menor espaço número espaço do espaço quadrado parêntese direito fim do estilo

Resposta: 54

c)

Sendo Sn a soma dos elementos da enésima coluna, a sequência S1, S2, S3, ..., Sn é uma progressão aritmética de razão n. Tem-se:
começar estilo tamanho matemático 14px reto S com 1 subscrito espaço igual a espaço numerador parêntese esquerdo 4 espaço mais espaço 7 reto n espaço menos espaço 3 parêntese direito espaço reto n sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador 7 reto n ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração espaço mais espaço reto n sobre 2 espaço reto e fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px reto S com reto n subscrito espaço igual a espaço numerador parêntese esquerdo 4 espaço mais espaço reto n espaço menos espaço 1 espaço mais espaço 8 reto n espaço menos espaço 4 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador 9 reto n ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração espaço menos espaço reto n sobre 2 fim do estilo
A soma de todos os termos é dada por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto S espaço igual a espaço numerador abre parênteses reto S com 1 subscrito espaço mais espaço reto S com reto n subscrito fecha parênteses espaço reto n sobre denominador 2 fim da fração reto S espaço igual a espaço numerador abre parênteses começar estilo mostrar numerador 7 reto n ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo espaço mais espaço começar estilo mostrar reto n sobre 2 fim do estilo espaço mais espaço começar estilo mostrar numerador 9 reto n ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo espaço menos espaço começar estilo mostrar reto n sobre 2 fim do estilo fecha parênteses espaço reto n sobre denominador 2 fim da fração reto S espaço igual a espaço 4 reto n ao cubo fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px De espaço reto S espaço igual a espaço 108 espaço 000 vírgula espaço tem menos se dois pontos fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px atributos de tabela alinhamento de coluna right center left fim dos atributos linha com célula com 4 reto n ao cubo fim da célula igual a célula com 108 espaço 000 fim da célula linha com célula com reto n ao cubo fim da célula igual a célula com 27 espaço 000 fim da célula linha com reto n igual a 30 fim da tabela fim do estilo