No plano cartesiano de eixos ortogonais foi desenhada uma circunferência λ, de centro A e equação geral x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0. Os pontos B, C, D e E pertencem a λ, sendo começar estilo tamanho matemático 14px BD com barra sobrescrito fim do estilo um diâmetro de λ. Sabe-se ainda que a medida do ângulo Ccomeçar estilo tamanho matemático 14px reto D com conjunção lógica sobrescrito fim do estiloB é de 30º e que começar estilo tamanho matemático 14px CD com barra sobrescrito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px BE com barra sobrescrito fim do estilo são segmentos paralelos.

a) Determine as medidas dos ângulos começar estilo tamanho matemático 14px reto C reto A com conjunção lógica sobrescrito reto B vírgula espaço reto D reto B com conjunção lógica sobrescrito reto E espaço reto e espaço reto B reto E com conjunção lógica sobrescrito reto D fim do estilo indicadas na figura por α, β e ε.

b) Calcule a área do pentágono côncavo ACDEB, destacado na figura em cinza.

a) começar estilo tamanho matemático 14px reto alfa espaço igual a espaço 60 sinal de grau vírgula espaço reto beta espaço igual a espaço 30 sinal de grau espaço reto e espaço reto épsilon espaço igual a espaço 90 sinal de grau fim do estilo

b) começar estilo tamanho matemático 14px numerador 75 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração fim do estilo

Resolução:

a) Considere-se a figura a seguir:

O ângulo começar estilo tamanho matemático 14px reto C reto A com conjunção lógica sobrescrito reto B fim do estilo é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito começar estilo tamanho matemático 14px reto C reto D com conjunção lógica sobrescrito reto B fim do estilo, logo começar estilo tamanho matemático 14px reto alfa espaço igual a espaço 60 sinal de grau fim do estilo.
Como começar estilo tamanho matemático 14px CD com barra sobrescrito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px BE com barra sobrescrito fim do estilo são paralelos, começar estilo tamanho matemático 14px reto D reto B com conjunção lógica sobrescrito reto E fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px reto B reto D com conjunção lógica sobrescrito reto C fim do estilo são alternos internos, logo começar estilo tamanho matemático 14px reto beta espaço igual a espaço 30 sinal de grau fim do estilo.
O ângulo começar estilo tamanho matemático 14px reto B reto E com conjunção lógica sobrescrito reto D fim do estilo está inscrito em uma semicircunferência, logo começar estilo tamanho matemático 14px reto épsilon espaço igual a espaço 90 sinal de grau fim do estilo.

b)

começar estilo tamanho matemático 14px reto x ao quadrado espaço mais espaço reto y ao quadrado espaço menos espaço 4 reto x espaço menos espaço 6 reto y espaço menos espaço 12 espaço igual a espaço 0 espaço então fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px reto x ao quadrado espaço menos espaço 4 reto x espaço mais espaço 4 espaço mais espaço reto y ao quadrado espaço menos espaço 6 reto y espaço mais espaço 9 espaço igual a espaço 12 espaço mais espaço 4 espaço mais espaço 9 espaço então fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço 2 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y espaço menos espaço 3 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 25 fim do estilo
 

A circunferência começar estilo tamanho matemático 14px reto lambda fim do estilo tem centro A (2, 3) e raio medindo 5.

Considere-se a figura a seguir:

Tem-se AC = AD = AE = AB = 5.
A área A do pentágono côncavo ACDEB é igual à soma das áreas dos triângulos ACD, ADE e AEB, logo:
começar estilo tamanho matemático 14px reto A espaço igual a espaço 1 meio espaço vezes espaço 5 espaço vezes espaço 5 espaço vezes espaço sen espaço 120 sinal de grau espaço mais espaço 1 meio espaço vezes espaço 5 espaço vezes espaço 5 espaço vezes espaço sen espaço 60 sinal de grau espaço mais espaço 1 meio espaço vezes espaço 5 espaço vezes espaço 5 espaço vezes espaço sen espaço 120 sinal de grau fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px reto A espaço igual a espaço 3 espaço vezes espaço 1 meio espaço vezes espaço 5 espaço vezes espaço 5 espaço vezes espaço numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px reto A espaço igual a espaço numerador 75 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração fim do estilo