Sabendo que c é um número real, considere a função quadrática f(x) = 2x2 − 3x + c, definida para todo número real x.

a) Determine todos os valores de c para os quais f(−1)f(1) = f(−1) + f(1).

b) Sejam p e q números reais distintos tais que f(p) = f(q). Prove que p e q não podem ser ambos números inteiros.

a) 

começar estilo tamanho matemático 14px reto f parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço igual a espaço 2 espaço mais espaço 3 espaço mais espaço reto c espaço espaço espaço então espaço espaço espaço reto f parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço igual a espaço 5 espaço mais espaço reto c reto f parêntese esquerdo 1 parêntese direito espaço igual a espaço 2 espaço menos espaço 3 espaço mais espaço reto c espaço espaço espaço então espaço espaço espaço reto f parêntese esquerdo 1 parêntese direito espaço igual a espaço menos 1 espaço mais espaço reto c fim do estilo

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Resposta: começar estilo tamanho matemático 14px menos 1 espaço mais espaço raiz quadrada de 10 espaço fim do estilo, começar estilo tamanho matemático 14px menos 1 espaço menos espaço raiz quadrada de 10 espaço fim do estilo

b) 

começar estilo tamanho matemático 14px reto f parêntese esquerdo reto p parêntese direito espaço igual a espaço reto f parêntese esquerdo reto q parêntese direito espaço seta dupla para a esquerda e para a direita espaço 2 reto p ao quadrado espaço menos espaço 3 reto p espaço mais espaço reto c espaço igual a espaço 2 reto q ao quadrado espaço menos espaço 3 reto q espaço mais espaço reto c 2 reto p ao quadrado espaço menos espaço 2 reto q ao quadrado espaço igual a espaço 3 reto p espaço menos espaço 3 reto q 2 abre parênteses reto p ao quadrado espaço menos espaço reto q ao quadrado fecha parênteses espaço igual a espaço 3 parêntese esquerdo reto p espaço menos espaço reto q parêntese direito fim do estilo

Como p ≠ q, tem-se começar estilo tamanho matemático 14px numerador reto p ao quadrado espaço menos espaço reto q ao quadrado sobre denominador reto p espaço menos espaço reto q fim da fração espaço igual a espaço 3 sobre 2 espaço espaço espaço então espaço espaço reto p espaço mais espaço reto q espaço igual a espaço 3 sobre 2. fim do estilo
A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro, logo, para que p + q seja racional começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 3 sobre 2 fecha parênteses fim do estilo, p e q não podem ser ambos inteiros.