Bianca está preparando saquinhos com balas e pirulitos para os convidados da festa de aniversário de sua filha. Cada saquinho irá conter 5 balas e 3 pirulitos, ou 3 balas e 4 pirulitos, já que ambas as combinações resultam no mesmo preço. Para fazer os saquinhos, ela dispõe de 7 sabores diferentes de balas (limão, menta, morango, framboesa, caramelo, canela e tutti-frutti) e 5 sabores diferentes de pirulito (chocolate, morango, uva, cereja e framboesa). Cada bala custou 25 centavos e cada pirulito custou x centavos, independentemente dos sabores.

a) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca pode fazer se ela não quer que haja balas de um mesmo sabor nem pirulitos de um mesmo sabor em cada saquinho? Qual o preço de cada pirulito?

b) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca pode fazer se ela não quer que haja sabores repetidos em cada saquinho?

a) 

  • número de maneiras de escolher 5 sabores diferentes entre 7 sabores: C7,5 = 21
  • número de maneiras de escolher 3 sabores diferentes entre 5 sabores: C5,3​ = 10
  • número de maneiras de escolher 3 sabores diferentes entre 7 sabores: C7,3​ = 35
  • número de maneiras de escolher 4 sabores diferentes entre 5 sabores: C5,4​ = 5

Nas condições dadas,

  • número de maneiras de fazer saquinhos com 5 balas e 3 pirulitos: C7,5 começar estilo tamanho matemático 14px vezes fim do estilo C5,3 = 210
  • número de maneiras de fazer saquinhos com 3 balas e 4 pirulitos: C7,3 começar estilo tamanho matemático 14px vezes fim do estilo C5,4 = 175

Nas condições dadas, o número de maneiras de fazer os saquinhos é dado por 210 + 175 = 385.
Dado que o preço de um saquinho com 5 balas e 3 pirulitos é igual ao preço de um saquinho de 3 balas e 4 pirulitos, tem-se:

5 começar estilo tamanho matemático 14px vezes fim do estilo 25 + 3x = 3 começar estilo tamanho matemático 14px vezes fim do estilo 25 + 4x
Logo, x = 50.

Resposta: 385 tipos diferentes e 50 centavos.

b) Como os sabores não podem ser repetidos e os sabores morango e framboesa são comuns a balas e pirulitos, tem-se as seguintes opções 

  • Para saquinhos com 5 balas e 3 pirulitos, vem:

Caso 1: Saquinho com bala de morango e de framboesa

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com balas blank pirulitos blank blank linha com célula com pilha reto C com 5 vírgula 3 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula vezes célula com pilha reto C com 3 vírgula 3 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula igual a 10 linha com blank blank blank blank blank fim da tabela fim do estilo
Caso 2:  Saquinho com bala de morango, mas não com bala de framboesa

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com balas blank pirulitos blank blank linha com célula com pilha reto C com 5 vírgula 4 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula vezes célula com pilha reto C com 4 vírgula 3 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula igual a 20 linha com blank blank blank blank blank fim da tabela fim do estilo
Caso 3: Saquinho com bala de framboesa, mas não com bala de morango

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com balas blank pirulitos blank blank linha com célula com pilha reto C com 5 vírgula 4 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula vezes célula com pilha reto C com 4 vírgula 3 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula igual a 20 linha com blank blank blank blank blank fim da tabela fim do estilo
Caso 4: Saquinho sem balas de morango sem framboesa

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com balas blank pirulitos blank blank linha com célula com pilha reto C com 5 vírgula 5 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula vezes célula com pilha reto C com 5 vírgula 3 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula igual a 10 linha com blank blank blank blank blank fim da tabela fim do estilo

  • Para saquinhos com 3 balas e quatro pirulitos, vem:

Caso 5: Saquinho com bala de morango, mas sem bala de framboesa

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com balas blank pirulitos blank blank linha com célula com pilha reto C com 5 vírgula 2 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula vezes célula com pilha reto C com 4 vírgula 4 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula igual a 10 linha com blank blank blank blank blank fim da tabela fim do estilo
Caso 6: Saquinho com bala de framboesa, mas sem bala de morango

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com balas blank pirulitos blank blank linha com célula com pilha reto C com 5 vírgula 2 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula vezes célula com pilha reto C com 4 vírgula 4 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula igual a 10 linha com blank blank blank blank blank fim da tabela fim do estilo
Caso 7:  Saquinho sem balas de morango nem framboesa

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com balas blank pirulitos blank blank linha com célula com pilha reto C com 5 vírgula 3 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula vezes célula com pilha reto C com 5 vírgula 4 subscrito fim do subscrito com chave superior acima fim da célula igual a 50 linha com blank blank blank blank blank fim da tabela fim do estilo
Assim, o total T de possiblidades é T = 10 + 20 + 20 + 10 + 10 + 10 + 50 = 130

Resposta 130 tipos