Os gráficos a seguir referem-se às funções exponenciais f e g, de IR em IR, definidas por f(x) = a · bx e g(x) = c + c · dx , com a, b, c e d sendo números reais, 0 < b ≠ 1 e 0 < d ≠ 1.

a) Determine a função f e as coordenadas do ponto de intersecção do seu gráfico com o eixo y.

b) Determine a função g e a equação da assíntota do seu gráfico.

a) Como o gráfico da função começar estilo tamanho matemático 14px reto f fim do estilo passa pelos pontos (-1, 4) e começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 1 vírgula espaço 9 sobre 4 parêntese direito fim do estilo, tem-se:
 começar estilo tamanho matemático 14px reto f espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço igual a espaço 4 espaço então espaço reto a espaço vezes espaço reto b à potência de menos 1 fim do exponencial espaço igual a espaço 4 espaço então espaço reto a espaço igual a espaço 4 reto b espaço parêntese esquerdo reto I parêntese direito reto f espaço parêntese esquerdo 1 parêntese direito espaço espaço espaço espaço igual a espaço 9 sobre 4 espaço então espaço reto a espaço vezes espaço reto b à potência de 1 espaço igual a espaço 9 sobre 4 espaço então espaço reto a espaço vezes espaço reto b espaço igual a espaço 9 sobre 4 espaço parêntese esquerdo II parêntese direito fim do estilo

De (I) em (II), vem:
começar estilo tamanho matemático 14px 4 reto b espaço vezes espaço reto b espaço igual a espaço 9 sobre 4 espaço então espaço 4 reto b ao quadrado espaço igual a espaço 9 sobre 4 espaço então espaço reto b ao quadrado espaço igual a espaço 9 sobre 16 espaço então espaço reto b espaço igual a espaço mais ou menos espaço 3 sobre 4 fim do estilo
Como começar estilo tamanho matemático 14px reto b espaço maior que espaço 0 fim do estilo, tem-se que começar estilo tamanho matemático 14px reto b espaço igual a espaço 3 sobre 4 fim do estilo.
Substituindo começar estilo tamanho matemático 14px reto b espaço igual a espaço 3 sobre 4 fim do estilo em (I):
começar estilo tamanho matemático 14px reto a espaço igual a espaço 4 espaço vezes espaço 3 sobre 4 espaço espaço então espaço espaço reto a espaço igual a espaço 3 fim do estilo
Logo, começar estilo tamanho matemático 14px reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço 3 espaço vezes espaço abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses à potência de reto x fim do estilo
Além disso começar estilo tamanho matemático 14px reto f parêntese esquerdo 0 parêntese direito espaço igual a espaço 3 fim do estilo, portanto, o ponto de intersecção do gráfico de começar estilo tamanho matemático 14px reto f fim do estilo com o eixo começar estilo tamanho matemático 14px reto y fim do estilo é começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 0 ponto e vírgula 3 parêntese direito fim do estilo.
Resp. : começar estilo tamanho matemático 14px reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço 3 espaço vezes espaço abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses à potência de reto x espaço fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 0 ponto e vírgula 3 parêntese direito fim do estilo.
b) Como o gráfico da função começar estilo tamanho matemático 14px reto g fim do estilo passa pelos pontos começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 0 ponto e vírgula menos 4 parêntese direito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo log com 3 subscrito com 2 sobrescrito espaço ponto e vírgula menos 6 parêntese direito fim do estilo, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto g parêntese esquerdo 0 parêntese direito espaço igual a espaço menos 4 espaço então espaço reto c espaço mais espaço reto c espaço vezes espaço reto d à potência de 0 espaço igual a espaço menos 4 espaço então espaço 2 reto c espaço igual a espaço menos 4 espaço então espaço reto c espaço igual a espaço menos 2 espaço parêntese esquerdo reto I parêntese direito fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px reto g parêntese esquerdo log com 3 subscrito com 2 sobrescrito parêntese direito espaço igual a espaço menos reto b espaço então espaço reto c espaço mais espaço reto c espaço vezes espaço reto d à potência de log com 3 subscrito com 2 sobrescrito fim do exponencial espaço igual a espaço menos 6 espaço parêntese esquerdo II parêntese direito fim do estilo
De (I) em (II), vem:
começar estilo tamanho matemático 14px menos 2 espaço menos 2 espaço vezes espaço reto d à potência de log com 3 subscrito com 2 sobrescrito fim do exponencial espaço igual a espaço menos 6 espaço espaço então espaço espaço reto d à potência de log com 3 subscrito com 2 sobrescrito fim do exponencial espaço igual a espaço 2 fim do estilo
Aplicando logaritmo na base 2, nos dois lados tem-se:
começar estilo tamanho matemático 14px log com 2 subscrito espaço reto d com espaço em branco subscrito com log com 3 subscrito com 2 sobrescrito sobrescrito fim do sobrescrito espaço igual a espaço log com 2 subscrito com 2 sobrescrito espaço então espaço log com 3 subscrito com 2 sobrescrito espaço vezes espaço log com 2 subscrito com reto d sobrescrito espaço igual a espaço 1 fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px então espaço log com 2 subscrito com reto d sobrescrito espaço igual a espaço numerador 1 sobre denominador log com 3 subscrito com 2 sobrescrito fim da fração espaço espaço então espaço espaço log com 2 subscrito com reto d sobrescrito espaço igual a espaço log com 2 subscrito com 3 sobrescrito espaço espaço então espaço espaço reto d espaço igual a espaço 3 fim do estilo
Assim,
começar estilo tamanho matemático 14px reto g parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço menos 2 espaço menos 2 espaço vezes espaço 3 à potência de reto x fim do estilo
O gráfico da função exponencial começar estilo tamanho matemático 14px reto g fim do estilo foi deslocado duas unidades em relação ao eixo. Assim a assíntota de começar estilo tamanho matemático 14px reto g fim do estilo é a reta paralela ao eixo começar estilo tamanho matemático 14px reto x fim do estilo cuja equação é dada por começar estilo tamanho matemático 14px reto y espaço igual a espaço menos 2 fim do estilo
Resp. : começar estilo tamanho matemático 14px reto g parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço menos 2 espaço menos 2 espaço vezes espaço 3 à potência de reto x fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px reto y espaço igual a espaço menos 2 fim do estilo.