Uma espira quadrada, de lado L, constituída por barras rígidas de material condutor, de resistência elétrica total R, se desloca no plano xy com velocidade começar estilo tamanho matemático 14px v com seta para a direita sobrescrito fim do estilo constante, na direção do eixo x. No instante t = 0, representado na figura, a espira começa a entrar em uma região do espaço, de seção reta quadrada, de lado 2L, onde há um campo magnético começar estilo tamanho matemático 14px B com seta para a direita sobrescrito fim do estilo perpendicular a começar estilo tamanho matemático 14px v com seta para a direita sobrescrito fim do estilo velocidade da espira é mantida constante por meio da ação de um agente externo. O campo começar estilo tamanho matemático 14px B com seta para a direita sobrescrito fim do estilo é uniforme, constante e tem a direção do eixo z, entrando no plano xy. 

a) A figura da página de respostas representa a situação para o instante t1 = L/(2v). Indique nessa figura o sentido da corrente elétrica i2 que circula pela espira e determine o seu valor. 

b) Determine a corrente i2 na espira para o instante t2 = (3L)/(2v)

c) Determine a força eletromagnética começar estilo tamanho matemático 14px F com seta para a direita sobrescrito fim do estilo (módulo, direção e sentido) que atua na espira no instante t3 = (5L)/(2v)

Note e adote:

Força eletromotriz na espira parcialmente imersa no campo magnético: começar estilo tamanho matemático 14px épsilon fim do estilo = L B v 

a) Como a velocidade «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#x2192;«/mo»«/mover»«/mstyle»«/math» é constante, pode-se, assim, calcular o quanto a espira desloca-se na região de campo magnético uniforme «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»(«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#x2192;«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«/mstyle»«/math» até o instante «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2206;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

Analisando a situação descrita no enunciado entre os instantes «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»e«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»:

  1. A expira entra (em parte) na região na qual há campo magnético, logo, o fluxo eletromagnético «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3A6;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» que atravessa a espira aumenta.
  2. Como o fluxo «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3A6;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» aumenta, há um campo magnético induzido «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«msub»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#x2192;«/mo»«/mover»«mi»ind«/mi»«/msub»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» na mesma direção e sentido oposto ao campo original «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#x2192;«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» dado.
  3. Sabendo que o campo induzido «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«msub»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#x2192;«/mo»«/mover»«mi»ind«/mi»«/msub»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» é na direção z e saindo do plano xy e utlizando a regra da mão direita, conclui-se que a corrente elétrica induzida (i1) na espira é no sentido anti-horário.

Como no instante «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» a espira está parcialmente imersa no campo magnético, pode-se assim calcular a corrente elétrica (i1):

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨normal¨»U«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»i«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x21D2;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»i«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»i«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

b) Calculando a posição da espira no instante «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2206;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Nesse instante, a espira está totalmente imersa no campo magnético. Logo, o fluxo eletromagnético não varia. Portanto, i2 = 0.

c) Calculando a posição da espira no instante «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»`«/mo»«mo»`«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2206;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»`«/mo»«mo»`«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«/mstyle»«/math»

A partir do resultado obtido, conclui-se que no instante t3 a espira está parcialmente imersa no campo magnético e saindo de tal região. Assim:

  1. O fluxo eletromagnético «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3A6;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» diminui, logo, há campo magnético induzido «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«msub»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#x2192;«/mo»«/mover»«mi»ind«/mi»«/msub»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» na mesma direção e sentido do campo magnético original «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#x2192;«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
  2. Sabendo que o campo induzido é na direção z e entrando no plano xy e utilizando a regra da mão direita, conclui-se que a corrente elétrica é no sentido horário.

A intensidade da corrente induzida (i3) pode assim ser calculada:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»U«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»i«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x21D2;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»i«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»i«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Pode-se assim representar o arranjo em t3 e as forças aplicadas na espira:

Como FAB e FDC se equilibram, a resultante das forças magnéticas «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»(«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»F«/mi»«mo»§#x2192;«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» aplicadas na espira pode assim ser calculada:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨normal¨»F«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»F«/mi»«mi»AD«/mi»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»i«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»F«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

De acordo com a figura, sua direção é a do eixo x e para a esquerda.