Um bloco é lançado com velocidade inicial vo, em movimento ascendente, num longo plano inclinado que forma um ângulo θ com a direção horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre as superfícies do bloco e do plano vale μ e o módulo da aceleração da gravidade local vale g. A expressão algébrica que possibilita determinar a máxima distância percorrida pelo bloco durante a subida e o respectivo tempo gasto nesse deslocamento é: 

  • a

    começar estilo tamanho matemático 14px reto d espaço igual a espaço numerador 2. reto g. reto v com 0 subscrito com 2 sobrescrito sobre denominador senθ espaço mais espaço reto mu. cosθ fim da fração espaço reto e espaço reto t espaço igual a espaço numerador reto v com reto o subscrito sobre denominador reto g. senθ espaço mais espaço reto mu. cos espaço reto teta fim da fração fim do estilo

  • b

    começar estilo tamanho matemático 14px reto d espaço igual a espaço numerador reto v com 0 subscrito com 2 sobrescrito sobre denominador 2. reto g. abre parênteses senθ espaço mais espaço reto mu. cosθ fecha parênteses fim da fração espaço reto e espaço reto t espaço igual a espaço numerador reto v com 0 subscrito sobre denominador reto g. abre parênteses senθ espaço mais espaço reto mu. cosθ fecha parênteses fim da fração fim do estilo

  • c

    começar estilo tamanho matemático 14px d espaço igual a espaço numerador 2. mu. v com 0 subscrito com 2 sobrescrito sobre denominador g. abre parênteses s e n teta espaço mais espaço cos teta fecha parênteses fim da fração espaço e espaço t espaço igual a espaço numerador g. mu. v com 0 subscrito sobre denominador abre parênteses s e n teta espaço mais espaço cos teta fecha parênteses fim da fração fim do estilo

  • d

    começar estilo tamanho matemático 14px d espaço igual a espaço numerador 2. v com 0 subscrito com 2 sobrescrito sobre denominador mu. g. abre parênteses s e n teta espaço mais espaço cos teta fecha parênteses fim da fração espaço e espaço t espaço igual a espaço numerador mu. v com 0 subscrito sobre denominador g. abre parênteses s e n teta espaço mais espaço cos teta fecha parênteses fim da fração fim do estilo

Representando as forças, as componentes e as medidas pertinentes à análise pedida:

A partir do triângulo formado pelo peso e suas componentes:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«/msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Na direção y:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»N«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x21D2;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»N«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»mg«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Na direção x:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x21D2;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3BC;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»N«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#x2009;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi mathvariant=¨normal¨»a«/mi»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3BC;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/menclose»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/menclose»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/menclose»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi mathvariant=¨normal¨»a«/mi»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi mathvariant=¨normal¨»a«/mi»«/mfenced»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3BC;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mrow»«/mstyle»«/math»

De acordo com a expressão anterior, pode-se concluir que a aceleração escalar é constante. Logo, o movimento é uniformemente variado:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»a§#x394;s«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x21D2;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»sen§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3BC;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»cos§#x3B8;«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«menclose notation=¨box¨»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»sen§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3BC;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»cos§#x3B8;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/menclose»«/mstyle»«/math»

Usando a função horária da velocidade para esse movimento:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»a«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x21D2;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»§#x3BC;cos«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«menclose notation=¨box¨»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»t«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»§#x3BC;cos«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B8;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/menclose»«/mrow»«/mstyle»«/math»