Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura. 

A soma α1 + ••• + αB vale

  • a

    180°.

  • b

    360°.

  • c

    540°.

  • d

    720°.

  • e

    900°.

Considere a figura a seguir, com os pontos e as medidas assinaladas:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#x2219;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»No«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tri§#xE2;ngulo«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tem«/mi»«mo»-«/mo»«mi»se«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B2;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»8«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2219;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»No«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tri§#xE2;ngulo«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»6«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tem«/mi»«mo»-«/mo»«mi»se«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B3;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»6«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»II«/mi»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2219;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»No«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tri§#xE2;ngulo«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»7«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»8«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»9«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tem«/mi»«mo»-«/mo»«mi»se«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B4;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»7«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»III«/mi»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2219;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»No«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tri§#xE2;ngulo«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»10«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»7«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨normal¨»C«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tem«/mi»«mo»-«/mo»«mi»se«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»C«/mi»«mo»^«/mo»«/mover»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B4;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»IV«/mi»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2219;«/mo»«mi»No«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»quadril§#xE1;tero«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»QP«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨normal¨»C«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»tem«/mi»«mo»-«/mo»«mi»se«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B2;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B3;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨normal¨»C«/mi»«mo»^«/mo»«/mover»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»360«/mn»«mo»§#xB0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mrow»«/mstyle»«/math»

De (I), (II), (III), (IV) e (V), tem-se:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»8«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»6«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»7«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»360«/mn»«mo»§#xB0;«/mo»«mo»,«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»ou«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»seja«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»6«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»7«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3B1;«/mi»«mn»8«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»360«/mn»«mo»§#xB0;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»