Foram identificados, até agora, aproximadamente 4.000 planetas fora do Sistema Solar, dos quais cerca de 10 são provavelmente rochosos e estão na chamada região habitável, isto é, orbitam sua estrela a uma distância compatível com a existência de água líquida, tendo talvez condições adequadas à vida da espécie humana. Um deles, descoberto em 2016, orbita Proxima Centauri, a estrela mais próxima da Terra. A massa, M_P, e o raio, R_P, desse planeta são diferentes da massa, M_T, e do raio, R_T, do planeta Terra, por fatores α e β: M_P = αM_T e R_P = βR_T

a) Qual seria a relação entre α e β se ambos os planetas tivessem a mesma densidade?

Imagine que você participe da equipe encarregada de projetar o robô C-1PO, que será enviado em uma missão não tripulada a esse planeta. Características do desempenho do robô, quando estiver no planeta, podem ser avaliadas a partir de dados relativos entre o planeta e a Terra.

Nas condições do item a), obtenha, em função de ,

b) a razão  entre o valor da aceleração da gravidade, g_P, que será sentida por C-1PO na superfície do planeta e o valor da aceleração da gravidade, g_T, na superfície da Terra;

c) a razão  entre o intervalo de tempo, t_P, necessário para que C-1PO dê um passo no planeta e o intervalo de tempo, t_T, do passo que ele dá aqui na Terra (considere que cada perna do robô, de comprimento L, faça um movimento como o de um pêndulo simples de mesmo comprimento);

d) a razão  entre os módulos das velocidades do robô no planeta, v_P, e na Terra, v_T.

Note e adote:

A Terra e o planeta são esférico.

O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M₁ e M₂, separados por uma distância r, é dado por , em que G é a constante de gravitação universal.

O período de um pêndulo simples de comprimento L é dado por T = 2π (L/g)^1/2, em que g é a aceleração local da gravidade.

Os passos do robô têm o mesmo tamanho na Terra e no planeta