Chama-se solução trivial de um sistema linear aquela em que todos os valores das incógnitas são nulos.

O sistema linear, nas incógnitas x, y e z:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»z«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»z«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»m«/mi»«mi»z«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»

  • a

    é impossível para qualquer valor de m

  • b

    admite apenas a solução trivial para qualquer valor de m

  • c

    admite soluções diferentes da solução trivial para m=13. 

  • d

    admite soluções diferentes da solução trivial para m=10. 

  • e

    não admite a solução trivial para m ≠ 13.

Primeiro, observe que o sistema dado é homogêneo e, portanto, admite pelo menos a solução trivial. Assim, o sistema pode admitir apenas a solução trivial, se for possível e determinado, ou a trivial e infinitas outras, se for possível e indeterminado.

Para analisar cada caso, calcule-se o determinante formado pelos coeficientes das incógnitas:

«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2234;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»50«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2234;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»D«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»39«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Como D = 0 apenas para m = 13 , temos que, se m ≠ 13, então o sistema é possível e determinado e, portanto, admite apenas a solução trivial.

Logo, se m = 13, o sistema é possível e indeterminado e, portanto, admite outras soluções além da trivial.