Considere uma escola com 1099 alunos matriculados e admita um ano de 366 dias para responder às perguntas a seguir.
a) Uma pessoa afirma que há pelo menos um dia no ano com pelo menos 4 dos 1099 alunos matriculados sendo aniversariantes. Explique, com argumentos lógicos, por que essa afirmação é correta ou por que é errada.
b) Qual teria que ser o número mínimo de alunos matriculados nessa escola para que houvesse algum dia do ano com 6 ou mais aniversariantes? Justifique sua resposta com argumentos lógicos.
a) A afirmação é correta.
Inicialmente, vamos considerar apenas 366 dos 1 099 alunos. É possível que 4 deles tenham nascido no mesmo dia, mas não podemos garantir isso. Ou seja, é possível que cada um dos 366 alunos tenha uma data de aniversário diferente das de todos os demais.
Porém, adicionando 1 aluno aos 366, é certo que 2 alunos passam a ter a mesma data de aniversário. Repetindo o raciocínio anterior, é possível que outro grupo de 366 (dos 1 099 – 366 = 733 alunos restantes) alunos seja composto apenas de aniversariantes em dias distintos dos demais. Ou seja, com 366 + 366 = 732 alunos, é possível que cada data de aniversário seja atribuída a apenas 2 alunos.
Repetindo esse raciocínio mais uma vez, podemos concluir que, com 732 + 366 = 1 098 alunos, é possível que cada data de aniversário seja atribuída a apenas 3 alunos.
Por fim, considerando o último aluno, é certo que existe um dia do ano em que 4 alunos fazem aniversário.
Observação: no âmbito da Análise Combinatória, esse raciocínio é conhecido como Princípio das Casas dos Pombos.
b) Entendendo o enunciado como “número mínimo de alunos para garantir que pelo menos 6 deles façam aniversário no mesmo dia”, podemos seguir o mesmo raciocínio descrito no item anterior:
- com 366 + 1 = 367 alunos, é garantido que pelo menos 2 deles fazem aniversário no mesmo dia;
- com 2 · 366 + 1 = 733 alunos, é garantido que pelo menos 3 deles fazem aniversário no mesmo dia;
- com 3 · 366 + 1 = 1 099 alunos, é garantido que pelo menos 4 deles fazem aniversário no mesmo dia;
- com 4 · 366 + 1 = 1 465 alunos, é garantido que pelo menos 5 deles fazem aniversário no mesmo dia;
- com 5 · 366 + 1 = 1 831 alunos, é garantido que pelo menos 6 deles fazem aniversário no mesmo dia.
Dessa forma, com 1 831 alunos, é certo que pelo menos 6 deles façam aniversário no mesmo dia.