Um lago artificial tem a forma de prisma reto, cuja base é o polígono UNIFESP, com UN = UP = 6 m, NI = PS = 2 m, IF = 1m, e ângulos indicados na figura.

a) Calcule as medidas de começar estilo tamanho matemático 14px SE em moldura superior espaço reto e espaço FE em moldura superior fim do estilo, ambas em metros.

b) Calcule a altura aproximada do lago, em centímetros e com uma casa decimal depois da vírgula, sabendo que o volume do lago é igual a começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 7 mais 2 raiz quadrada de 2 fecha parênteses espaço reto m ao cubo fim do estilo.

a) Inicialmente, note que são paralelas as retas que contêm os lados começar estilo tamanho matemático 14px UN com barra sobrescrito fim do estilo, começar estilo tamanho matemático 14px IF com barra sobrescrito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px SE com barra sobrescrito fim do estilo,assim como são paralelas (e perpendiculares às anteriores) as retas que contêm os lados começar estilo tamanho matemático 14px UP com barra sobrescrito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px FE com barra sobrescrito fim do estilo.

Veja a figura a seguir, em que foram destacados dois triângulos retângulos isósceles:

  • BSP, sendo B o ponto dado pela interseção das retas que contêm os lados começar estilo tamanho matemático 14px UP com barra sobrescrito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px SE com barra sobrescrito fim do estilo
  • AIN, congruente a BSP

Nesses triângulos, foram destacadas as medidas x dos catetos.

Como as retas que contêm os lados começar estilo tamanho matemático 14px UN com barra sobrescrito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px SE com barra sobrescrito fim do estilo são paralelas, devemos ter:

começar estilo tamanho matemático 14px UN mais AI mais IF igual a BS mais SE então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 6 mais reto x mais 1 igual a reto x mais SE então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px SE igual a 7 fim do estilo

Da mesma forma, como são paralelas as retas que contêm os lados começar estilo tamanho matemático 14px UP com barra sobrescrito fim do estilo, começar estilo tamanho matemático 14px NA com barra sobrescrito fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px FE com barra sobrescrito fim do estilo:

começar estilo tamanho matemático 14px UP mais PB igual a NA mais FE então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 6 mais reto x igual a reto x mais FE então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px FE igual a 6 fim do estilo

b) Como o volume do prisma é determinado pelo produto entre a área de sua base e a sua altura, precisamos determinar a área do polígono UNIFESP.

Veja a figura a seguir, que foi construída retirando-se o triângulo AIN de sua posição e sobrepondo-o ao triângulo BSP:

Como os triângulos AIN e BSP são congruentes, essa figura é equivalente (ou seja, tem a mesma área) ao polígono UNIFESP.

Para calcular sua área, é necessário determinar o valor de x, que é a medida dos catetos dos triângulos AIN e BSP:

Do teorema de Pitágoras, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px 2 ao quadrado igual a reto x ao quadrado mais reto x ao quadrado então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto x igual a raiz quadrada de 2 fim do estilo

Dessa forma, podemos calcular a área começar estilo tamanho matemático 14px reto A com UNIFESP subscrito fim do estilo do polígono UNIFESP somando as áreas dos dois retângulos da figura acima:

começar estilo tamanho matemático 14px reto A com UNIFESP subscrito igual a 6 vezes parêntese esquerdo 6 mais reto x parêntese direito mais parêntese esquerdo 1 mais reto x parêntese direito vezes 6 então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto A com UNIFESP subscrito igual a 6 vezes parêntese esquerdo 6 mais raiz quadrada de 2 parêntese direito mais 6 vezes parêntese esquerdo 1 mais raiz quadrada de 2 parêntese direito então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto A com UNIFESP subscrito igual a 42 mais 12 raiz quadrada de 2 fim do estilo

Por fim, como o volume do lago é começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo 7 mais 2 raiz quadrada de 2 parêntese direito espaço reto m ao cubo fim do estilo, denotando sua altura por H, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px reto A com UNIFESP subscrito espaço vezes reto H igual a 7 mais 2 raiz quadrada de 2 então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto H igual a numerador 7 mais 2 raiz quadrada de 2 sobre denominador 42 mais 12 raiz quadrada de 2 fim da fração espaço então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto H igual a numerador 7 mais 2 raiz quadrada de 2 sobre denominador 6 vezes abre parênteses 7 mais 2 raiz quadrada de 2 fecha parênteses fim da fração espaço então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto H igual a 1 sobre 6 espaço reto m igual a 100 sobre 6 espaço cm fim do estilo

Calculando uma aproximação de 1 casa decimal, temos que a altura do lago é de, aproximadamente, 16,7 cm.