Considere V sendo o vértice da parábola descrita pela função começar estilo tamanho matemático 14px reto g abre parênteses reto x fecha parênteses igual a 4 reto x menos reto x ao quadrado sobre 2 fim do estilo, definida de IR em IR, e r sendo a reta que passa pelos pontos A(–2, 2) e V.

a) Determine a medida do ângulo agudo que a reta r forma com o eixo das abscissas.

b) Determine todos os pontos (x, y), pertencentes ao gráfico de y = g(x), tais que x e y sejam números inteiros positivos.

a) As coordenadas do ponto V são dadas por começar estilo tamanho matemático 14px reto x com reto V subscrito igual a numerador menos reto b sobre denominador 2 reto a fim da fração igual a numerador menos 4 sobre denominador 2 vezes abre parênteses começar estilo mostrar numerador menos 1 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fecha parênteses fim da fração igual a 4 fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px reto y com reto V subscrito igual a reto g parêntese esquerdo 4 parêntese direito igual a 4 vezes 4 menos 4 ao quadrado sobre 2 igual a 8 fim do estilo. Logo V(4,8) e denotando por α a medida do ângulo pedido, tem-se que, neste caso, tg(α) pode ser calculada por meio do coeficiente angular da reta r. Por meio dos pontos A e V, o coeficiente angular mr dado por

começar estilo tamanho matemático 14px reto m com reto r subscrito igual a numerador incremento reto y sobre denominador incremento reto x fim da fração igual a numerador 8 menos 2 sobre denominador 4 menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito fim da fração igual a 6 sobre 6 igual a 1 fim do estilo

Assim, tg(α) = 1 e, portanto, começar estilo tamanho matemático 14px reto alfa igual a 45 à potência de reto o fim do estilo.

Resposta: começar estilo tamanho matemático 14px 45 à potência de reto o fim do estilo

b) Para que se tenha começar estilo tamanho matemático 14px reto y maior que 0 fim do estilo, deve-se ter começar estilo tamanho matemático 14px 4 reto x menos reto x ao quadrado sobre 2 maior que 0 fim do estilo, ou seja, começar estilo tamanho matemático 14px 8 reto x menos reto x ao quadrado maior que 0 fim do estilo. Daí, começar estilo tamanho matemático 14px menos reto x ao quadrado maior que menos 8 reto x fim do estilo, ou seja, começar estilo tamanho matemático 14px reto x ao quadrado menor que 8 reto x fim do estilo e, como começar estilo tamanho matemático 14px reto x maior que 0 fim do estilo, então conclui-se que começar estilo tamanho matemático 14px reto x menor que 8 fim do estilo. Além disso, no intervalo começar estilo tamanho matemático 14px parêntese recto direito 0 vírgula 8 parêntese recto esquerdo espaço vírgula fim do estilo para que y seja inteiro, x deve ser múltiplo de 2 (caso contrário, começar estilo tamanho matemático 14px reto x ao quadrado sobre 2 fim do estilo não seria um número inteiro).

Portanto, os pontos pertencentes ao gráfico de g com x e y inteiros positivos aparecem na tabela a seguir:

Resposta: (2,6), (4,8), (6,6).