Cada um de 30 estudantes de determinada escola obteve, em uma prova de matemática, ou nota 2, ou nota 3, ou nota 4, ou nota 5. Sobre as notas dos estudantes, considere que:
ou nota 5. Sobre as notas dos estudantes, considere que:
1) a soma de todas as trinta notas foi 93;
2) a quantidade de notas 3 foi maior do que a de notas 5, e menor do que a de notas 4;
3) o número de estudantes que tiraram nota 4 é divisível por 10;
4) um número par de estudantes tirou nota 5.
Sejam x, y, z e w os números, não nulos, de estudantes que tiraram notas 2, 3, 4 e 5, respectivamente.
a) Apresente argumentos matemáticos que justifiquem que z é diferente de 20.
b) Determine x, y, z e w.
Do enunciado, tem-se que (I),
(II),
(III) e w é um número par. Além disso, como z deve ser múltiplo (não nulo) de 10, menor que 30 – caso contrário, x, y e z deveriam ser nulos – então
ou
.
a) Suponha, por absurdo, que . Então, de (I), tem-se
, ou seja,
(IV) e, de (II), tem-se
. Substituindo a igualdade (IV) nesta última, vem:
Como y e w são números positivos, é impossível que a soma seja um número negativo, o que significa que é impossível
e, assim, z tem que ser diferente de 20.
Resposta: Justificativa.
b) Do item anterior, tem-se que . Substituindo em (I), (II) e (III), tem-se
, ou seja,
(V),
(VI) e
(VII), com w par. Substituindo a igualdade (V) em (VI), tem-se
- Com
, tem-se
e, portanto,
, o que satisfaz todas as condições do enunciado;
- Com
, tem-se
e, portanto,
, o que não satisfaz a condição (VII);
- Com
, tem-se
, o que não satisfaz as condições do enunciado.
Assim, deve-se ter ,
,
e
.
Resposta: x = 11, y = 7, w = 2 e z = 10.