Helena tem um cadeado cuja abertura depende de uma senha composta por 3 dígitos que são números inteiros de 0 a 9. Após definir a senha do cadeado, ela cola um adesivo com certo código no cadeado. Este código, no entanto, não é a senha do cadeado: deixar a senha anotada no cadeado seria um equívoco. Para obter a senha correta, (x,y,z), a partir do código (a,b,c), Helena usa a seguinte relação entre os dígitos do código e os dígitos da senha:

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a a vírgula fim da célula linha com célula com x mais z igual a b vírgula fim da célula linha com célula com y mais z igual a c. fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

a) Se o código anotado por Helena fosse (9,6,3), qual seria a senha do cadeado?

b) Passados alguns meses, Helena se esqueceu da senha. Para seu azar, o adesivo com o código se apagou parcialmente e só sobraram visíveis os dois primeiros dígitos: (6,2,?). Quais são todas as possíveis senhas? Justifique.

a) Considerando o sistema começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left left left fim dos atributos linha com célula com reto x mais reto y mais reto z fim da célula igual a célula com 9 espaço parêntese esquerdo 1 ª parêntese direito fim da célula linha com célula com reto x mais reto z fim da célula igual a célula com 6 espaço parêntese esquerdo 2 ª parêntese direito fim da célula linha com célula com reto y mais reto z fim da célula igual a célula com 3 espaço parêntese esquerdo 3 ª parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo, temos:

  • Da 1ª e 2ª equações, pode-se concluir que y = 3;
  • Da 1ª e 3ª equações, pode-se concluir que x = 6;
  • Da 2ª equação e de x = 6, pode-se concluir que z = 0.

Logo, a solução do sistema é (6, 3, 0).

 

b) Consideremos o sistema começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left left left fim dos atributos linha com célula com reto x mais reto y mais reto z fim da célula igual a célula com 6 espaço parêntese esquerdo 1 ª parêntese direito fim da célula linha com célula com reto x mais reto z fim da célula igual a célula com 2 espaço parêntese esquerdo 2 ª parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo. Dessas duas equações, conclui-se que começar estilo tamanho matemático 14px 2 mais reto y igual a 6 vírgula fim do estilo ou seja, começar estilo tamanho matemático 14px reto y igual a 4. fim do estilo

Sendo x e z números inteiros de 0 a 9 e começar estilo tamanho matemático 14px reto x mais reto z igual a 2 vírgula fim do estilo conclui-se que começar estilo tamanho matemático 14px reto x igual a 0 vírgula fim do estilo começar estilo tamanho matemático 14px reto x igual a 1 fim do estilo ou começar estilo tamanho matemático 14px reto x igual a 2. fim do estilo

Tem-se a seguinte tabela de valores possíveis:

Portanto, as possíveis senhas são dadas por (0, 4, 2), (1, 4, 1) e (2, 4, 0).