Considere as funções f(x) = x2 + x + c e g(x) = x + k, onde c, k são números reais.
a) Determine os valores de k e c para que se tenha f(g(1)) – g(f(1)) < 0.
b) Sabendo que a equação f(x) = 0 tem uma única solução real, determine o(s) valor(es) de k para que a soma das soluções da equação f(g–1(x)) = 1/4 seja igual a 2025, onde g–1(x) denota a função inversa de g(x).
a)
Como , tem-se
. Com isso, segue de (*) e (**):
Resposta: e c é qualquer número real.
b) O discriminante de é dado por
.
Dado que a equação possui uma única solução real, conclui-se que
ou seja,
e
Sendo , tem-se que
De , tem-se:
Como a soma dessas soluções é igual a 2025, tem-se: