Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.

 

Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.

Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:

• tipo I: α = 15° e R = 20 m;

• tipo II: α = 30° e R = 22 m;

• tipo III: α = 40° e R = 12 m;

• tipo IV: α = 60° e R = 16 m;

• tipo V: α = 90° e R = 10 m.

Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m2, com o menor preço possível.

Use 3 como valor aproximado para π.

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

  • a

    I.

  • b

    II.

  • c

    III.

  • d

    IV.

  • e

    V.

Calculando a área de cobertura dos 5 sensores pela área de um setor circular, em metro quadrado, tem-se que:

Tipo I:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com 360 sinal de grau fim da célula menos célula com reto pi vezes 20 ao quadrado fim da célula linha com célula com 15 sinal de grau fim da célula menos célula com reto A com 1 subscrito fim da célula fim da tabela então reto A com 1 subscrito igual a 50 fim do estilo

Tipo II:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com 360 sinal de grau fim da célula menos célula com reto pi vezes 22 ao quadrado fim da célula linha com célula com 30 operador anelar fim da célula menos célula com reto A com 2 subscrito fim da célula fim da tabela então reto A com 2 subscrito igual a 121 fim do estilo

Tipo III:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com 360 sinal de grau fim da célula menos célula com reto pi vezes 12 ao quadrado fim da célula linha com célula com 40 sinal de grau fim da célula menos célula com reto A com 3 subscrito fim da célula fim da tabela então reto A com 3 subscrito igual a 48 fim do estilo

Tipo IV:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com 360 sinal de grau fim da célula menos célula com reto pi vezes 16 ao quadrado fim da célula linha com célula com 60 sinal de grau fim da célula menos célula com reto A com 4 subscrito fim da célula fim da tabela então reto A com 4 subscrito igual a 128 fim do estilo

Tipo V:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com 360 sinal de grau fim da célula menos célula com reto pi vezes 10 ao quadrado fim da célula linha com célula com 90 sinal de grau fim da célula menos célula com reto A com 5 subscrito fim da célula fim da tabela então reto A com 5 subscrito igual a 75 fim do estilo

Logo, os sensores do tipo II, IV e V cobrem a área mínima. Como quanto maior a área mais caro o sensor, a fim de ter o menor gasto possível, deve-se adquirir o sensor do tipo V.