A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm sido utilizados para minimizar os danos causados por ela.
Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo t, denotada por Q(t), é dada por
Q(t) = 20 + 2 sen(t) – 4 cos(t),
em que t representa o tempo medido em anos e Q(t) é medido em quilos. O gráfico que melhor representa a função Q(t), ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo t é:
- a
- b
- c
- d
Para resolver a questão de forma rigorosa, começaremos fazendo a seguinte observação: existe algum triângulo retângulo com catetos medindo 2 e 4, como mostra a figura a seguir. Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa deste triângulo deve medir .
Denotando a medida de um dos ângulos agudos desse triângulo por α, temos:
Agora, vamos fazer a seguinte transformação algébrica na lei , que envolve multiplicar e dividir os dois últimos termos por
:
Como vimos, os valores e
são, respectivamente,
e
:
Temos, portanto, que o gráfico de Q é senoidal, o que pode ser observado apenas nas alternativas A e C. Além disso, como , podemos concluir que a alternativa correta é A.
Observação: de maneira informal, é possível chegar à alternativa correta por meio das seguintes observações:
, o que se verifica apenas nas alternativas A e B;
- Considerando que o menor valor possível para
é
e o maior valor possível para
é 1, podemos afirmar que
certamente não é menor que
. Na alternativa B, o gráfico tem diversos pontos de ordenada menor que 14, o que nos leva a optar pela alternativa A.