Seja (an)n∈ = (a1, a2, a3,…) uma progressão aritmética de razão r e seja (s1, s2, s3,…) a sequência definida por sn = a1 + ⋅⋅⋅ + an, isto é, o seu n-ésimo termo é a soma dos n primeiros termos da sequência (an)n∈
. Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência (Sn)n∈
, a razão da progressão aritmética (an)n∈
é:
Vamos denotar por p, p + 1 e p + 2 as posições dos termos consecutivos 168, 220 e 279, ou seja:
Como sn é a soma dos n primeiros termos da P.A., podemos reescrever o sistema da seguinte forma:
Subtraindo membro a membro a 1ª igualdade da 2ª, obtemos:
Analogamente, subtraindo a 2ª igualdade da 3ª, chegamos a:
Como ap + 1 e ap + 2 são termos consecutivos da P.A., podemos obter a razão r subtraindo um do outro: