Joca sabe que assim que um meme se torna viral, o número de compartilhamentos C por dia cresce em progressão geométrica (PG) no início de sua disseminação na população. No entanto, ele está ciente de que um modelo matemático por PG tem limitações, já que o número de compartilhamentos não pode crescer indefinidamente como numa PG.

Pensando em como aprimorar a progressão geométrica inicial, ele concebeu uma “progressão geométrica com razão decrescente” (PGRD). A ideia é fazer com que a razão da PG não seja constante, mas diminua a cada termo. Enquanto na PG um termo pode ser obtido em função do termo anterior por Cn + 1 = Cn · r, na PGRD temos Cn + 1 = Cn · (r · dn), onde 0 < d ≤ 1. Note que as PG usuais são um caso especial da PGRD com decaimento d = 1.

Considere a PGRD definida por começar estilo tamanho matemático 14px reto r igual a 32 vírgula espaço reto d igual a 1 meio espaço reto e espaço reto C com 0 subscrito igual a 1. fim do estilo

a) Calcule C3.

b) Determine a partir de que termo a PGRD começa a decrescer, ou seja, encontre o menor valor de n tal que Cn > Cn + 1.

a) Utilizando a fórmula de recorrência dada no enunciado e considerando começar estilo tamanho matemático 14px reto r espaço igual a espaço 32 fim do estilo, começar estilo tamanho matemático 14px reto d espaço igual a espaço 1 meio fim do estilo  e começar estilo tamanho matemático 14px reto C com 0 subscrito espaço igual a espaço 1 fim do estilo, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com 1 subscrito espaço igual a espaço reto C com 0 subscrito espaço vezes espaço parêntese esquerdo reto r espaço vezes espaço reto d à potência de 0 parêntese direito espaço seta dupla para a direita espaço reto C com 1 subscrito espaço igual a espaço 1 espaço vezes espaço parêntese esquerdo 32 espaço vezes espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço 32 fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com 2 subscrito espaço igual a espaço reto C com 1 subscrito espaço vezes espaço parêntese esquerdo reto r espaço vezes espaço reto d à potência de 1 parêntese direito espaço seta dupla para a direita espaço reto C com 2 subscrito espaço igual a espaço 32 espaço vezes espaço abre parênteses 32 espaço vezes espaço 1 meio fecha parênteses espaço igual a espaço 512 fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto C com 3 subscrito espaço igual a espaço reto C com 2 subscrito espaço vezes espaço parêntese esquerdo reto r espaço vezes espaço reto d ao quadrado parêntese direito espaço seta dupla para a direita espaço reto C com 3 subscrito espaço igual a espaço 512 espaço vezes espaço abre parênteses 32 espaço vezes espaço 1 quarto fecha parênteses espaço igual a espaço 4 espaço 096 fim do estilo

Portanto, C3 = 4 096.

b) Note que, como o termo inicial, a razão e o decaimento são todos positivos, a sequência é formada apenas por valores positivos. Então:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com reto C com reto n espaço mais espaço 1 subscrito fim do subscrito espaço menor que espaço reto C com reto n subscrito espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com reto C com reto n espaço mais espaço 1 subscrito fim do subscrito sobre reto C com reto n subscrito espaço menor que espaço 1 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com numerador reto C com reto n subscrito espaço vezes espaço reto r espaço vezes espaço reto d à potência de reto n sobre denominador reto C com reto n subscrito fim da fração espaço menor que espaço 1 seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com reto r espaço vezes espaço reto d à potência de reto n espaço menor que espaço 1 fim da célula fim da tabela fim do estilo

Como começar estilo tamanho matemático 14px reto r espaço igual a espaço 32 espaço igual a espaço 2 à potência de 5 fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px reto d espaço igual a espaço 1 meio espaço igual a espaço 2 à potência de menos 1 fim do exponencial fim do estilo, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com 2 à potência de 5 espaço vezes espaço parêntese esquerdo 2 à potência de menos 1 fim do exponencial parêntese direito à potência de reto n espaço menor que espaço 1 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com 2 à potência de 5 espaço vezes espaço 2 à potência de menos reto n fim do exponencial espaço menor que espaço 1 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com 2 à potência de 5 menos reto n fim do exponencial espaço menor que espaço 1 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com 5 menos reto n espaço menor que espaço 0 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com reto n espaço maior que espaço 5 fim da célula fim da tabela fim do estilo

Assim, essa PGRD começa a decrescer a partir do termo C6.