Ana recebeu uma coleção de belos colares que pertenceram à sua bisavó, feitos exclusivamente de ouro e prata, e se propôs a determinar a quantidade de ouro presente em cada colar. Ela sabe que as densidades do ouro e da prata são aproximadamente 20 g/cm³ e 10 g/cm³, respectivamente. Para realizar suas medições, Ana utiliza uma proveta longa, formada por um prisma retangular de base quadrada. A medida de cada lado da base do prisma é de 2 cm. Ela coloca água no interior da proveta e marca a altura da água. Em seguida, mergulha um colar na água e marca a nova altura da água na proveta, que agora é D centímetros superior à altura anterior.

a) Se a quantidade de ouro em um colar fosse 75 g e a de prata 25 g, qual seria o volume do colar, em cm3?

b) Mostre que a quantidade em gramas de ouro x pode ser calculada em função do peso P do colar, em gramas, e da diferença D de altura da água, em centímetros, através da expressão x = 2P – 80D

a) A densidade d de um material homogêneo é definida como a razão entre sua massa m e seu volume V. Assim, começar estilo tamanho matemático 14px reto d espaço igual a espaço reto m sobre reto V espaço seta dupla para a esquerda e para a direita espaço reto V espaço igual a espaço reto m sobre reto d fim do estilo. Como a densidade do ouro é de 20 g/cm³, o volume Vouro  de ouro no colar é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto V com ouro subscrito espaço igual a espaço 75 sobre 20 espaço igual a espaço 3 vírgula 75 espaço cm ao cubo fim do estilo

Além disso, como a densidade da prata é de 10 g/cm³, o volume Vprata de prata no colar é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto V com prata subscrito espaço igual a espaço 25 sobre 10 espaço igual a espaço 2 vírgula 5 espaço cm ao cubo fim do estilo

Portanto, o volume total VT do colar é:

começar estilo tamanho matemático 14px reto V com reto T subscrito espaço igual a espaço 3 vírgula 75 espaço mais espaço 2 vírgula 5 espaço igual a espaço 6 vírgula 25 espaço cm ao cubo fim do estilo

b) Sendo mprata a massa de prata no colar, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px reto P espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço reto m com prata subscrito espaço seta dupla para a esquerda e para a direita espaço reto m com prata subscrito espaço igual a espaço reto P espaço menos espaço reto x fim do estilo

Ao mergulhar o colar na água, o volume V de água deslocada é exatamente igual ao volume do colar. O volume V é o volume de um prisma retangular com base quadrada de lado igual a 2 cm e altura D, enquanto o volume do colar é a soma dos volumes de ouro começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses reto V com ouro subscrito espaço igual a espaço reto m com ouro subscrito sobre reto d com ouro subscrito fecha parênteses fim do estilo e prata começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses reto V com prata subscrito espaço igual a espaço reto m com prata subscrito sobre reto d com prata subscrito fecha parênteses fim do estilo presentes no colar. Assim:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com reto V espaço igual a espaço reto V com ouro subscrito espaço mais espaço reto V com prata subscrito espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com 2 ao quadrado espaço vezes espaço reto D espaço igual a reto x sobre 20 espaço mais espaço numerador reto P espaço menos espaço reto x sobre denominador 10 fim da fração espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com numerador 80 reto D sobre denominador 20 fim da fração espaço igual a espaço reto x sobre 20 espaço mais espaço numerador 2 reto P espaço menos espaço 2 reto x sobre denominador 20 fim da fração espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com 80 reto D espaço igual a espaço 2 reto P espaço menos espaço reto x espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim da célula linha com célula com reto x espaço igual a espaço 2 reto P espaço menos espaço 80 reto D fim da célula fim da tabela fim do estilo