Considere as funções fn(x) = (1 – x)2 + (2– x)2 + ... + (n – x)2, onde n é um número natural não nulo.

a) Determine os valores de x tais que f3(x) = 29.

b) Mostre que o valor de x que minimiza fn(x) é começar estilo tamanho matemático 14px reto x igual a numerador reto n mais 1 sobre denominador 2 fim da fração. fim do estilo

a) Considerando a função começar estilo tamanho matemático 14px reto f com reto n subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito fim do estilo do enunciado, temos que: começar estilo tamanho matemático 14px reto f com 3 subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço abre parênteses 1 espaço menos espaço reto x fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 2 espaço menos espaço reto x fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 3 espaço menos espaço reto x fecha parênteses ao quadrado fim do estilo. Assim:

começar estilo tamanho matemático 14px reto f com 3 subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço 29 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 1 espaço menos espaço reto x fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 2 espaço menos espaço reto x fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 3 espaço menos espaço reto x fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço 29 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 1 espaço menos espaço 2 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado fecha parênteses espaço mais espaço ligadura parêntese esquerdo 4 espaço menos espaço 4 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado ligadura parêntese direito espaço mais espaço ligadura parêntese esquerdo 9 espaço menos espaço 6 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado ligadura parêntese direito espaço igual a espaço 29 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 3 reto x ao quadrado espaço menos espaço 12 x espaço mais espaço estreito 14 espaço igual a espaço 29 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 3 reto x ao quadrado espaço menos espaço 12 reto x espaço menos espaço 15 espaço igual a 0 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto x espaço igual a espaço menos 1 espaço ou espaço reto x espaço igual a espaço 5 fim do estilo

b) Desenvolvendo-se começar estilo tamanho matemático 14px reto f com reto n subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito fim do estilo, obtemos:

começar estilo tamanho matemático 14px reto f com reto n subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço abre parênteses 1 espaço menos espaço reto x fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço ligadura parêntese esquerdo 2 espaço menos espaço reto x ligadura parêntese direito ao quadrado mais espaço ligadura parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço reto x ligadura parêntese direito ao quadrado mais espaço... espaço mais espaço ligadura parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço reto x ligadura parêntese direito ao quadrado espaço seta dupla para a direita fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto f com reto n subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço abre parênteses 1 espaço menos espaço 2 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado fecha parênteses espaço mais espaço ligadura parêntese esquerdo 4 espaço menos espaço 4 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado ligadura parêntese direito espaço mais espaço ligadura parêntese esquerdo 9 espaço menos espaço 6 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado ligadura parêntese direito espaço mais espaço estreito ligadura parêntese esquerdo 16 espaço menos espaço 8 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado ligadura parêntese direito espaço mais espaço... espaço mais espaço ligadura parêntese esquerdo reto n ao quadrado espaço menos espaço 2 nx espaço mais espaço reto x ao quadrado ligadura parêntese direito fim do estilo

Agrupando os termos:

começar estilo tamanho matemático 14px reto f com reto n subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço reto n espaço vezes espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 2 espaço menos espaço 4 espaço menos espaço 6 espaço menos espaço 8 espaço menos espaço vezes vezes vezes espaço menos espaço 2 reto n parêntese direito reto x espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 4 espaço mais espaço estreito 9 espaço mais espaço 16 espaço mais espaço vezes vezes vezes espaço mais espaço reto n ao quadrado parêntese direito fim do estilo

Note que Error converting from MathML to accessible text. é uma PA de n termos com termo inicial e razão iguais a -2. Assim:

começar estilo tamanho matemático 14px menos 2 espaço menos espaço 4 espaço espaço menos espaço 6 espaço menos espaço 8 espaço menos espaço vezes vezes vezes espaço menos espaço 2 reto n espaço igual a espaço numerador reto n abre parênteses menos 2 espaço menos espaço 2 reto n fecha parênteses sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço menos reto n espaço vezes espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço estreito reto n parêntese direito fim do estilo

Como n é um número inteiro não nulo, sabemos, ainda, que o gráfico de começar estilo tamanho matemático 14px reto f com reto n subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito fim do estilo é uma parábola de concavidade para cima, aceitando valor mínimo quando começar estilo tamanho matemático 14px reto x espaço igual a espaço reto x com reto v subscrito fim do estilo.

começar estilo tamanho matemático 14px reto x com reto v subscrito espaço igual a espaço numerador menos reto b sobre denominador 2 reto a fim da fração espaço igual a espaço numerador menos abre colchetes menos reto n espaço vezes espaço abre parênteses 1 espaço mais espaço estreito reto n fecha parênteses fecha colchetes sobre denominador 2 reto n fim da fração espaço igual a espaço numerador reto n espaço mais espaço 1 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo

Logo, o valor que minimiza começar estilo tamanho matemático 14px reto f com reto n subscrito parêntese esquerdo reto x parêntese direito fim do estilo é começar estilo tamanho matemático 14px reto x espaço igual a espaço numerador reto n espaço mais espaço 1 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo.