No plano cartesiano, uma parábola da forma y = ax2 + bx + c e uma reta da forma y = mx + n são tangentes quando a interseção contém apenas um ponto. Considere a parábola p, de equação y = x2 + 1.

a)Mostre que a reta y = x + 2 não é tangente à parábola p.

b)Encontre os valores de m tais que a reta y = mx seja tangente à parábola p.

a) A reta é tangente à parábola p se, e somente se, o sistema de equações começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto y espaço igual a espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço 1 fim da célula linha com célula com reto y espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 2 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo tiver um único par ordenado como solução, ou seja, se a equação começar estilo tamanho matemático 14px reto x ao quadrado espaço mais espaço 1 espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 2 fim do estilo tiver discriminante igual a zero.

A equação começar estilo tamanho matemático 14px reto x ao quadrado espaço mais espaço 1 espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 2 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita espaço reto x ao quadrado espaço menos espaço reto x espaço menos espaço 1 espaço igual a espaço 0 fim do estilo possui discriminante começar estilo tamanho matemático 14px incremento espaço igual a espaço abre parênteses menos 1 fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 4 espaço vezes espaço 1 espaço vezes espaço abre parênteses menos 1 fecha parênteses espaço igual a espaço 5 fim do estilo. Como começar estilo tamanho matemático 14px incremento espaço maior que espaço 0 fim do estilo, a equação possui 2 raízes reais distintas e há dois pontos de interseção entre a parábola e a reta. Portanto, elas não são tangentes.

b) Para que a reta começar estilo tamanho matemático 14px reto y espaço igual a espaço mx fim do estilo seja tangente à parábola p, o sistema começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto y espaço igual a espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço 1 fim da célula linha com célula com reto y espaço igual a espaço mx fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo deve ter solução única, ou seja, a equação começar estilo tamanho matemático 14px reto x ao quadrado espaço mais espaço 1 espaço igual a espaço mx espaço seta dupla para a esquerda e para a direita espaço reto x ao quadrado espaço menos espaço mx espaço mais espaço 1 espaço igual a espaço 0 fim do estilo deve ter discriminante igual a zero. Assim, para que a reta seja tangente à parábola, devemos ter começar estilo tamanho matemático 14px incremento espaço igual a espaço abre parênteses menos reto m fecha parênteses ao quadrado espaço menos espaço 4 espaço vezes espaço 1 espaço vezes espaço 1 espaço igual a espaço 0 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita espaço reto m ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço seta dupla para a esquerda e para a direita espaço reto m espaço igual a espaço 2 espaço ou espaço reto m espaço igual a espaço menos 2 fim do estilo.