A figura mostra, fora de escala, duas cordas homogêneas, 1 e 2, de densidades lineares de massa µ1 e µ2 = 3µ1, conectadas no ponto P. Nessa figura, observa-se uma onda propagando-se para a direita na corda 1, com velocidade v1 e frequência f1, antes de refratar para a corda 2, onde se propagará com velocidade e frequência v2 e f2, respectivamente.

Sabe-se que no mesmo intervalo de tempo Δt = 2 s em que essa onda percorrer o trecho de comprimento y, na corda 1, o ponto C, indicado na figura, realizará quatro oscilações completas na vertical. Sendo x a distância entre duas cristas consecutivas na corda 1 e sabendo que o sistema formado pelas duas cordas é submetido a uma força de tração de intensidade constante,

a) obtenha o valor de f1, em Hz, e calcule o valor da razão começar estilo tamanho matemático 14px reto y sobre reto x. fim do estilo

b) obtenha o valor de f2, em Hz, e calcule o valor da razão começar estilo tamanho matemático 14px reto v com 1 subscrito sobre reto v com 2 subscrito. fim do estilo

a) De acordo com o enunciado, durante o intervalo de tempo de 2 s, o ponto C da corda 1 realiza quatro oscilações completas. Desse modo, é possível determinar a frequência f1, como apresentado a seguir:

começar estilo tamanho matemático 14px tabela linha com célula com reto delta maiúsculo reto t espaço igual a espaço 2 espaço reto s espaço fim da célula célula com espaço em branco à potência de _____ fim da célula célula com 4 espaço oscilações fim da célula linha com célula com reto delta maiúsculo reto t espaço igual a espaço 1 espaço reto s fim da célula célula com espaço em branco à potência de _____ fim da célula reto f fim da tabela Portanto vírgula espaço reto f com 1 subscrito espaço igual a espaço 2 espaço Hz fim do estilo

Sendo x a distância entre duas cristas consecutivas na corda 1, ela coincide com o comprimento de onda e, portanto, o intervalo de tempo para que ocorra essa propagação é o período da onda (T1):

começar estilo tamanho matemático 14px reto T com 1 subscrito espaço igual a espaço 1 sobre reto f com 1 subscrito espaço igual a espaço 1 meio espaço então espaço reto T com 1 subscrito espaço igual a espaço 0 vírgula 5 espaço reto s fim do estilo

Desse modo, no intervalo de tempo de 2 s, a onda percorre a distância y, correspondente à quatro vezes o comprimento de onda:

começar estilo tamanho matemático 14px reto y espaço igual a espaço 4 espaço vezes espaço reto x espaço então espaço reto y sobre reto x espaço igual a espaço 4 fim do estilo

b) Como na refração de uma onda a frequência não se altera, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto f com 2 subscrito espaço igual a espaço reto f com 1 subscrito espaço igual a espaço 2 espaço Hz fim do estilo

Além disso, para se determinar a relação começar estilo tamanho matemático 14px reto v com 1 subscrito sobre reto v com 2 subscrito fim do estilo, pode-se inicialmente utilizar a equação de Taylor:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v espaço igual a espaço raiz quadrada de reto T sobre reto mu fim da raiz fim do estilo

Como as cordas estão submetidas a mesma tração, pode-se relacionar as velocidades de propagação das ondas:

começar estilo tamanho matemático 14px reto v com 1 subscrito sobre reto v com 2 subscrito espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de começar estilo mostrar reto T sobre reto mu com 1 subscrito fim do estilo fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de começar estilo mostrar reto T sobre reto mu com 2 subscrito fim do estilo fim da raiz fim da fração espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de começar estilo mostrar reto mu com 2 subscrito fim do estilo fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de começar estilo mostrar reto mu com 1 subscrito fim do estilo fim da raiz fim da fração espaço igual a espaço raiz quadrada de numerador 3 espaço vezes espaço reto mu com 1 subscrito sobre denominador reto mu com 1 subscrito fim da fração fim da raiz espaço então espaço reto v com 1 subscrito sobre reto v com 2 subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 3 fim do estilo