Em um dia em que a temperatura ambiente estava elevada no litoral, uma pessoa retirou 3 litros de água a 40 ºC de um reservatório por meio de uma torneira com vazão constante de 4,5 L/min e, para resfriar essa água, acrescentou a ela vários cubos de gelo iguais, cada um com massa de 50 g e temperatura de –12 ºC, retirados de um freezer.

a) Expresse a vazão da torneira em unidades do Sistema Internacional de Unidades (m3/s) e calcule o intervalo de tempo, em segundos, em que a pessoa retirou os 3 litros de água do reservatório, utilizando essa torneira.

b) Sabe-se que o calor específico do gelo é 0,5 cal /(g ∙ºC), que o calor específico da água líquida é 1 cal /(g ∙ºC), que o calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g, que a densidade da água é 1 g/cm3 = 103 kg/m3, que a capacidade térmica do recipiente no qual a água foi colocada é desprezível e que não ocorreu perda de calor para o ambiente. Calcule quantos cubos de gelo foram acrescentados aos três litros de água para que, depois de atingido o equilíbrio térmico, a pessoa tivesse apenas água no estado líquido, a 22 ºC.

Temos que 1000 L equivalem a 1 m3, assim como 1 minuto são 60 segundos, logo:

começar estilo tamanho matemático 14px 4 vírgula 5 espaço reto L sobre min espaço igual a espaço 4 vírgula 5 espaço numerador 10 à potência de menos 3 fim do exponencial espaço reto m ao cubo sobre denominador 60 espaço reto s fim da fração espaço igual a espaço 7 vírgula 5 espaço vezes espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial espaço reto m ao cubo dividido por reto s fim do estilo

Portanto, a vazão no Sistema Internacional de Unidades é 7,5 · 10-5 m3/s.

A vazão, z, pode ser expressa como:

começar estilo tamanho matemático 14px reto z espaço igual a espaço numerador incremento reto V sobre denominador incremento reto t fim da fração fim do estilo

onde ΔV representa a variação de volume do recipiente e Δt, o intervalo de tempo considerado, assim:

começar estilo tamanho matemático 14px 4 vírgula 5 espaço igual a espaço numerador 3 sobre denominador incremento reto t fim da fração espaço seta dupla para a direita espaço incremento reto t espaço igual a espaço 2 sobre 3 espaço min espaço então espaço incremento reto t espaço igual a espaço 40 espaço reto s fim do estilo

Portanto, a pessoa levou 40 segundos para esvaziar os 3 litros de água.

b) Como 3 L de água equivalem a 3 kg de água e fazendo as devidas transformações de unidade (3 kg = 3000 g), o calor da porção original de água, até atingir o equilíbrio térmico é igual a:

começar estilo tamanho matemático 14px reto Q com água subscrito espaço igual a espaço reto m com água subscrito reto c com água subscrito incremento reto teta com água subscrito reto Q com água subscrito espaço igual a espaço 3 espaço 000 espaço vezes espaço 1 espaço vezes espaço parêntese esquerdo 22 espaço menos espaço 40 parêntese direito espaço igual a espaço menos 54 espaço 000 espaço cal fim do estilo

Para calcular o calor da porção de gelo, temos que perceber que ele passa por três processos. Primeiramente esquenta até atingir o ponto de fusão (0 ºC), passando por um calor sensível. Após isso o gelo derrete (sem mudar de temperatura), passando por um calor latente. Por fim, esquenta novamente até atingir a temperatura de equilíbrio, passando por outro calor sensível.

Assim, sendo m a massa total de gelo, o calor dos cubos de gelo em todas as suas etapas é dado por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto Q com gelo subscrito espaço igual a espaço mc com gelo subscrito incremento reto teta com gelo subscrito espaço mais espaço mL espaço mais espaço mc com água subscrito incremento reto teta com água subscrito reto Q com gelo subscrito espaço igual a espaço reto m espaço vezes espaço 0 vírgula 5 espaço vezes espaço parêntese recto esquerdo 0 espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito parêntese recto direito espaço mais espaço reto m espaço vezes espaço 80 espaço mais espaço reto m espaço vezes espaço 1 espaço vezes espaço parêntese esquerdo 22 espaço menos espaço 0 parêntese direito reto Q com gelo subscrito espaço igual a espaço 108 espaço reto m fim do estilo

Como a capacidade térmica do recipiente é desprezível e não ocorreu perda de calor para o ambiente, temos um sistema termicamente isolado entre a água e os cubos de gelo. Assim:

começar estilo tamanho matemático 14px reto Q com água subscrito espaço mais espaço reto Q com gelo subscrito espaço igual a espaço 0 menos 54 espaço 000 espaço mais espaço 108 espaço reto m espaço igual a espaço 0 então espaço reto m espaço igual a espaço 500 espaço reto g fim do estilo

Como cada cubo de gelo possui 50 g, o número N de cubos será dado por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto N espaço igual a espaço 500 sobre 50 espaço igual a espaço 10 fim do estilo

Portanto, foram necessários 10 cubos de gelo.