A figura representa uma sequência de n hexágonos regulares concêntricos, cortados pelas retas r, s e t. O menor dos hexágonos tem lado de 1 cm e a distância entre vértices vizinhos de dois hexágonos consecutivos é sempre igual a 1,5 cm.

a) Calcule a medida do lado do 20º hexágono da figura. Sendo Ln a medida, em centímetros, do lado no n-ésimo hexágono da figura, determine a fórmula de Ln em função de n > 1.

b) Sabendo que a região destacada em amarelo na figura é determinada pelo círculo que circunscreve o n-ésimo hexágono da figura e esse hexágono, determine An, que denota a fórmula para o cálculo da área dessa região, em cm2, em função de n > 1.

a) As medidas dos lados dos hexágonos formam uma progressão aritmética  de primeiro termo começar estilo tamanho matemático 14px reto L com 1 subscrito espaço igual a espaço 1 fim do estilo e razão começar estilo tamanho matemático 14px 1 vírgula 5 fim do estilo, logo:

começar estilo tamanho matemático 14px reto L com 20 subscrito espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 19 espaço vezes espaço 1 vírgula 5 espaço então espaço reto L com 20 subscrito espaço igual a espaço 29 vírgula 5 espaço cm fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px reto L com reto n subscrito espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço parêntese esquerdo reto n espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço vezes espaço 1 vírgula 5 espaço então espaço reto L com reto n subscrito espaço igual a espaço 1 vírgula 5 reto n espaço menos espaço 0 vírgula 5 fim do estilo

b) A área An é dada pela área do círculo de raio Ln, menos a área do hexágono de lado Ln, ou seja: 

começar estilo tamanho matemático 14px atributos de tabela alinhamento de coluna right center left espaçamento de coluna 0px fim dos atributos linha com célula com A com n subscrito espaço fim da célula igual a célula com espaço reto pi espaço vezes espaço parêntese esquerdo 1 vírgula 5 reto n espaço menos espaço 0 vírgula 5 parêntese direito ao quadrado espaço menos espaço 6 espaço vezes espaço numerador parêntese esquerdo 1 vírgula 5 reto n espaço menos espaço 0 vírgula 5 parêntese direito ao quadrado espaço vezes espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração fim da célula linha com célula com reto A com reto n subscrito espaço fim da célula igual a célula com espaço reto pi espaço vezes espaço parêntese esquerdo 1 vírgula 5 reto n espaço menos espaço 0 vírgula 5 parêntese direito ao quadrado espaço menos espaço 1 vírgula 5 raiz quadrada de 3 espaço vezes espaço parêntese esquerdo 1 vírgula 5 reto n espaço menos espaço 0 vírgula 5 parêntese direito ao quadrado fim da célula linha com célula com reto A com reto n subscrito espaço fim da célula igual a célula com espaço abre parênteses reto pi espaço menos espaço 1 vírgula 5 raiz quadrada de 3 fecha parênteses espaço vezes espaço parêntese esquerdo 1 vírgula 5 reto n espaço menos espaço 0 vírgula 5 parêntese direito ao quadrado fim da célula fim da tabela fim do estilo