Na figura abaixo, ABCD representa um terreno quadrado cujos lados medem 10m, coberto por grama alta. O ponto E é o ponto médio do lado AD; o segmento EF, paralelo ao lado DC, representa um muro de 5m de comprimento e bem alto, sendo, portanto, intransponível.

Um cortador de grama robótico será usado para cortar a grama do terreno. Ele será ligado na energia no ponto A e seu cabo de energia tem comprimento de 10m. Para funcionar, ele tem que estar ligado todo o tempo na tomada.

a) Ao usar o aparelho para cortar a grama do terreno, uma pessoa tenta se aproximar, ao máximo, do lado CD. Nessa situação, calcule a distância que falta para o cortador de grama alcançar o lado CD. Justifique.

b) O robô não conseguirá cortar a grama do terreno todo, já que seu fio é curto e o muro é um obstáculo. Qual a maior área do terreno que o robô conseguirá cortar a grama?

a) Supondo que a pessoa e o robô ocupem o mesmo ponto, a figura a seguir representa a situação descrita, sendo G o ponto ocupado pelo robô e H o ponto médio do lado começar estilo tamanho matemático 14px DC em moldura superior fim do estilo. Dessa forma, GH é a distância pedida.

Como o triângulo AEF é retângulo, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px AF ao quadrado igual a 5 ao quadrado mais 5 ao quadrado espaço espaço então fim do estilo
começar estilo tamanho matemático 14px AF igual a 5 raiz quadrada de 2 fim do estilo

O comprimento do fio, de 10 m, é a soma das medidas AF e AG, ou seja:

começar estilo tamanho matemático 14px AF mais FG igual a 10 espaço espaço então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px FG igual a 10 menos 5 raiz quadrada de 2 fim do estilo

Por fim, como FH = 5, devemos ter:

começar estilo tamanho matemático 14px FG mais GH igual a 5 espaço espaço então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px GH igual a 5 espaço menos espaço abre parênteses 10 espaço menos espaço 5 raiz quadrada de 2 fecha parênteses espaço espaço então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px GH espaço igual a espaço 5 raiz quadrada de 2 espaço menos espaço 5 fim do estilo

A distância pedida é, portanto, de começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 5 raiz quadrada de 2 espaço menos espaço 5 fecha parênteses espaço reto m fim do estilo.

b) Primeiramente, note que, como começar estilo tamanho matemático 14px AF igual a 5 raiz quadrada de 2 espaço menor que 10 fim do estilo, todos os pontos do triângulo AEF podem ser atingidos pelo robô.

Em seguida, imagine que o robô esteja com o fio totalmente esticado, ocupando o ponto B. A partir dessa posição, mantendo o fio completamente esticado, é possível cortar a grama de todos os pontos de um setor circular com centro em A e raio medindo 10 m, enquanto o fio não encostar no ponto F. A figura a seguir ilustra essa afirmação, sendo G o ponto ocupado pelo robô na iminência do fio tocar o ponto F.

A partir daí, mantendo o fio completamente esticado, é possível varrer a área de um setor circular com centro em F e raio medindo começar estilo tamanho matemático 14px FG igual a abre parênteses 10 espaço menos espaço 5 raiz quadrada de 2 fecha parênteses espaço reto m fim do estilo (determinado no item anterior), até que o robô ocupe um ponto do lado começar estilo tamanho matemático 14px EF em moldura superior fim do estilo. A figura a seguir mostra toda a área cuja grama pode ser cortada, assim como os ângulos centrais dos setores circulares.

A área do triângulo AEF vale:

começar estilo tamanho matemático 14px numerador 5 vezes 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a 25 sobre 2 espaço reto m ao quadrado fim do estilo

O setor circular maior tem área igual a:

começar estilo tamanho matemático 14px numerador 45 sinal de grau sobre denominador 360 sinal de grau fim da fração vezes reto pi vezes 10 ao quadrado igual a numerador 25 reto pi sobre denominador 2 fim da fração espaço reto m ao quadrado fim do estilo

O setor circular menor, por sua vez, tem área igual a:

começar estilo tamanho matemático 14px numerador 135 sinal de grau sobre denominador 360 sinal de grau fim da fração vezes reto pi vezes abre parênteses 10 espaço menos espaço 5 raiz quadrada de 2 fecha parênteses ao quadrado igual a numerador 75 reto pi abre parênteses 3 espaço menos espaço 2 raiz quadrada de 2 fecha parênteses sobre denominador 4 fim da fração espaço reto m ao quadrado fim do estilo

Dessa forma, a maior área cuja grama o robô consegue cortar vale

começar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses 25 sobre 2 mais numerador 25 reto pi sobre denominador 2 fim da fração mais numerador 75 reto pi abre parênteses 3 espaço menos espaço 2 raiz quadrada de 2 fecha parênteses sobre denominador 4 fim da fração fecha parênteses espaço reto m ao quadrado fim do estilo