A sequência a1, a2, ..., an, ... é chamada de progressão harmônica quando todo termo an (com n > 1) é a média harmônica entre o antecessor e o sucessor, isto é
Dada uma progressão harmônica a1, a2, ..., an, ... defina uma nova sequência b1, b2, ..., bn, ... onde, para todo n,
a)Explique por que a sequência bn é uma progressão aritmética.
b)Calcule a2023 em função de b1 e r = b2 – b1.
a) Como , temos que
e
, de modo que:
Mas, como :
Assim, concluímos que cada termo bn (para n > 1) é a média aritmética entre seu antecessor e seu sucessor, o que permite caracterizar a sequência dos bn como uma progressão aritmética.
b) Como a sequência dos bn é uma progressão aritmética, temos:
Dado que , então
, ou seja: